Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede a integral imprópria
usando o teorema dos resíduos. Vamos usar análise complexa, definindo
,
escolher um contorno semicircular no semiplano superior e calcular os polos de .
usando o teorema dos resíduos. Vamos usar análise complexa, definindo
escolher um contorno semicircular no semiplano superior e calcular os polos de
Passo 2
Os polos de
vêm de
cuja solução é
No semiplano superior têm-se
e
.
Ambos são polos simples.
e
Ambos são polos simples.
Passo 3
Para um polo simples
,
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Passo 4
Considere o contorno formado pelo intervalo real de
a
e o arco semicircular
de raio
no semiplano superior. Pela estimativa padrão,
Pelo teorema dos resíduos,