Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais impróprias:
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2 x+2\right)}=-\frac{\pi}{5}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teorema dos resíduos para calcular
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+1)\,(x^{2}+2x+2)}.
Vamos estender a função ao plano complexo, identificar seus polos simples e aplicar o contorno semicircular no semiplano superior.

Passo 2

Definimos
f(z)=\frac{1}{(z^{2}+1)(z^{2}+2z+2)}
e fatoramos o denominador como
(z-i)(z+i)(z+1-i)(z+1+i).
Os polos simples com \Im z>0 são
\,z=i e z=-1+i.

Passo 3

Calculamos as residuais:
Para z=i:
\Res(f,i) =\lim_{z\to i}\frac{z-i}{(z^{2}+1)(z^{2}+2z+2)} =\frac{1}{(2i)\bigl(i^{2}+2i+2\bigr)} =\frac{1}{2i\,(1+2i)} =\frac{-2 - i}{10}.
Para z=-1+i:
\Res(f,-1+i) =\lim_{z\to -1+i}\frac{z+1-i}{(z^{2}+1)(z^{2}+2z+2)} =\frac{1}{\bigl((-1+i)^{2}+1\bigr)\,2i} =\frac{2 - i}{10}.

Passo 4

A soma das residuais no semiplano superior é
\Res(f,i)+\Res(f,-1+i) =\frac{-2 - i + 2 - i}{10} =-\frac{i}{5}.
Pelo teorema dos resíduos,
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =2\pi i\;\Bigl(-\frac{i}{5}\Bigr) =\frac{2\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{5}

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