Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o teorema dos resíduos. O conteúdo envolve integrais impróprias de funções racionais e aplicação de contorno no semiplano superior, identificando polos e somando seus resíduos.
Passo 2
Definimos a função meromorfa
e consideramos o contorno que é a reta real de
a
mais o semicírculo de raio
no semiplano superior, orientado positivamente. Como
quando
, a integral sobre o semicírculo tende a zero e
Passo 3
Os polos de
vêm das raízes do denominador
Fazendo
temos
, cujas soluções são
Logo
Os polos no semiplano superior são
e
.
Passo 4
Em cada polo simples
,
Para
vale
, então
Para
vale
, então
Passo 5
Somando os resíduos do semiplano superior:
pois
. Pelo teorema dos resíduos,