Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais impróprias:
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}\,dx
usando o teorema dos resíduos. O conteúdo envolve integrais impróprias de funções racionais e aplicação de contorno no semiplano superior, identificando polos e somando seus resíduos.

Passo 2

Definimos a função meromorfa
f(z)=\frac{z^{2}}{z^{4}+z^{2}+1}
e consideramos o contorno que é a reta real de -R a R mais o semicírculo de raio R no semiplano superior, orientado positivamente. Como f(z)=O(1/z^{2}) quando |z|\to\infty, a integral sobre o semicírculo tende a zero e
\int_{-R}^{R}f(x)\,dx \;\xrightarrow{R\to\infty}\;2\pi i\sum_{\Im z_k>0}\Res(f,z_k).

Passo 3

Os polos de f vêm das raízes do denominador
z^{4}+z^{2}+1=0.
Fazendo t=z^{2} temos t^{2}+t+1=0, cujas soluções são
t=e^{2\pi i/3},\quad t=e^{-2\pi i/3}.
Logo
z=e^{i\pi/3},\;e^{i4\pi/3},\;e^{-i\pi/3},\;e^{i2\pi/3}.
Os polos no semiplano superior são
\displaystyle z_{1}=e^{i\pi/3} e \displaystyle z_{2}=e^{i2\pi/3}.

Passo 4

Em cada polo simples z_{k},
\Res\bigl(f,z_{k}\bigr) =\lim_{z\to z_{k}}\frac{(z-z_{k})\,z^{2}}{z^{4}+z^{2}+1} =\frac{z_{k}^{2}}{(4z_{k}^{3}+2z_{k})} =\frac{z_{k}}{2(2z_{k}^{2}+1)}.
Para z_{1}=e^{i\pi/3} vale 2z_{1}^{2}+1= i\sqrt{3}, então
\Res(f,z_{1})=\frac{e^{i\pi/3}}{2\,i\sqrt{3}}.
Para z_{2}=e^{i2\pi/3} vale 2z_{2}^{2}+1=-\,i\sqrt{3}, então
\Res(f,z_{2})=-\frac{e^{i2\pi/3}}{2\,i\sqrt{3}}.

Passo 5

Somando os resíduos do semiplano superior:
\Res(f,z_{1})+\Res(f,z_{2}) =\frac{e^{i\pi/3}-e^{i2\pi/3}}{2\,i\sqrt{3}} =\frac{1}{2\,i\sqrt{3}},
pois e^{i\pi/3}-e^{i2\pi/3}=1. Pelo teorema dos resíduos,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}\,dx =2\pi i\cdot\frac{1}{2\,i\sqrt{3}} =\frac{\pi}{\sqrt{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{3}}

Exercícios relacionados