Use o teorema dos resíduos de Cauchy (Seção 76) para calcular a integral de cada uma dessas funções ao longo do círculo
no sentido positivo.
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral da função
ao longo do círculo
no sentido positivo. Informações dadas e perguntas claras:
- Queremos
. - O caminho de integração é o círculo centrado na origem com raio
, orientado positivamente (contra-horário). - Precisamos usar o Teorema dos Resíduos de Cauchy.
Passo 2
Identificar as singularidades de
e quais estão dentro do círculo
.
- A função
é inteira (não tem singularidades). - O denominador
anula-se em , logo é uma singularidade. - Não há outras singularidades.
- Verificamos se
está dentro do círculo : como , sim, está dentro. - Tipo da singularidade em
: pelo fator , é um polo de ordem (polo duplo).
Passo 3
Enunciar o Teorema dos Resíduos e a fórmula para o resíduo de um polo de ordem
.
- Teorema dos Resíduos (forma prática): se
é meromorfa e tem singularidades isoladas dentro de uma curva simples fechada orientada positivamente, então
onde a soma é sobre as singularidades dentro de
.
- Fórmula para o resíduo em um polo de ordem
em :
- No nosso caso
e , portanto
Passo 4
Calcular explicitamente o resíduo em
.
- Primeiro escrevo o produto que aparece na fórmula:
- Agora tomo a derivada com respeito a
:
- Avalio o limite em
:
Observação didática: aqui ficou simples porque
simplificou exatamente para
; para um polo de ordem
a fórmula exige a derivada primeira, e foi isso que fizemos.
Passo 5
Aplicar o Teorema dos Resíduos para obter a integral.
- Como a única singularidade dentro de
é , temos
- Substituindo o resíduo encontrado: