Use o teorema dos resíduos de Cauchy (Seção 76) para calcular a integral de cada uma dessas funções ao longo do círculo |z|=3 no sentido positivo.
\frac{\exp (-z)}{(z-1)^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função
f(z)=\frac{\exp(-z)}{(z-1)^2}
ao longo do círculo |z|=3 no sentido positivo. Informações dadas e perguntas claras:
  • Queremos \displaystyle \oint_{|z|=3} \frac{\exp(-z)}{(z-1)^2}\,dz.
  • O caminho de integração é o círculo centrado na origem com raio 3, orientado positivamente (contra-horário).
  • Precisamos usar o Teorema dos Resíduos de Cauchy.

Passo 2

Identificar as singularidades de f(z) e quais estão dentro do círculo |z|=3.
  • A função \exp(-z) é inteira (não tem singularidades).
  • O denominador (z-1)^2 anula-se em z=1, logo z=1 é uma singularidade.
  • Não há outras singularidades.
  • Verificamos se z=1 está dentro do círculo |z|=3: como |1|=1<3, sim, z=1 está dentro.
  • Tipo da singularidade em z=1: pelo fator (z-1)^{-2}, é um polo de ordem 2 (polo duplo).

Passo 3

Enunciar o Teorema dos Resíduos e a fórmula para o resíduo de um polo de ordem m.
  • Teorema dos Resíduos (forma prática): se f é meromorfa e tem singularidades isoladas a_k dentro de uma curva simples fechada C orientada positivamente, então
\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k \operatorname{Res}(f,a_k),
onde a soma é sobre as singularidades dentro de C.
  • Fórmula para o resíduo em um polo de ordem m em z_0:
\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\Big[(z-z_0)^m f(z)\Big].
  • No nosso caso m=2 e z_0=1, portanto
\operatorname{Res}\big(f,1\big)=\lim_{z\to 1}\frac{d}{dz}\Big[(z-1)^2 f(z)\Big].

Passo 4

Calcular explicitamente o resíduo em z=1.
  • Primeiro escrevo o produto que aparece na fórmula:
(z-1)^2 f(z) = (z-1)^2\cdot\frac{\exp(-z)}{(z-1)^2} = \exp(-z).
  • Agora tomo a derivada com respeito a z:
\frac{d}{dz}\Big[(z-1)^2 f(z)\Big] = \frac{d}{dz}\big[\exp(-z)\big] = -\exp(-z).
  • Avalio o limite em z\to 1:
\operatorname{Res}\big(f,1\big)=\lim_{z\to 1} -\exp(-z) = -\exp(-1) = -\frac{1}{e}.
Observação didática: aqui ficou simples porque (z-1)^2 f(z) simplificou exatamente para \exp(-z); para um polo de ordem 2 a fórmula exige a derivada primeira, e foi isso que fizemos.

Passo 5

Aplicar o Teorema dos Resíduos para obter a integral.
  • Como a única singularidade dentro de |z|=3 é z=1, temos
\oint_{|z|=3} \frac{\exp(-z)}{(z-1)^2}\,dz = 2\pi i \cdot \operatorname{Res}\big(f,1\big).
  • Substituindo o resíduo encontrado:
\oint_{|z|=3} \frac{\exp(-z)}{(z-1)^2}\,dz = 2\pi i \cdot \left(-\frac{1}{e}\right) = -\frac{2\pi i}{e}.

Resposta

-\dfrac{2\pi i}{e}

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