Encontre o resíduo em z=0 da função
\frac{\operatorname{senh} z}{z^{4}\left(1-z^{2}\right)}.

Passo 1

O enunciado pede o resíduo da função \dfrac{\operatorname{senh} z}{z^{4}\left(1-z^{2}\right)} no ponto z=0.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
f(z)=\frac{\operatorname{senh} z}{z^{4}\left(1-z^{2}\right)},\qquad\text{o ponto: }z=0.
Não há outras informações externas; tudo o que precisamos está no enunciado.

Passo 2

O que é o resíduo e como vamos encontrá‑lo (explicação didática, sem pular etapas):
O resíduo de f em z=0 é o coeficiente do termo \displaystyle \frac{1}{z} na expansão de Laurent de f em torno de 0. Ou seja, se
f(z)=\cdots + c_{-2}z^{-2}+c_{-1}z^{-1}+c_0+c_1 z+\cdots,
então o resíduo é c_{-1}. A estratégia mais direta aqui é expandir f em série em torno de 0 (Laurent) e identificar o coeficiente de z^{-1}.

Passo 3

Expandir \operatorname{senh} z (seno hiperbólico) em série de potências em torno de 0:
Lembrando a série de Taylor conhecida,
\operatorname{senh} z=\operatorname{sinh} z = z+\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}+\frac{z^{7}}{7!}+\cdots.
Vou escrever alguns termos iniciais que serão suficientes:
\operatorname{senh} z = z+\frac{z^{3}}{6}+\frac{z^{5}}{120}+\frac{z^{7}}{5040}+\cdots.

Passo 4

Expandir \dfrac{1}{1-z^{2}} como série (série geométrica):
Para |z|<1,
\frac{1}{1-z^{2}}=1+z^{2}+z^{4}+z^{6}+\cdots = \sum_{k=0}^{\infty} z^{2k}.
Essa é uma série com apenas potências pares não negativas.

Passo 5

Formar a série de \dfrac{\operatorname{senh} z}{z^{4}} primeiro (dividir a série da \operatorname{senh} z por z^{4}):
Dividindo termo a termo,
\frac{\operatorname{senh} z}{z^{4}} = \frac{z}{z^{4}}+\frac{z^{3}}{6z^{4}}+\frac{z^{5}}{120 z^{4}}+\frac{z^{7}}{5040 z^{4}}+\cdots
ou seja
\frac{\operatorname{senh} z}{z^{4}} = z^{-3}+\frac{1}{6}z^{-1}+\frac{1}{120}z^{1}+\frac{1}{5040}z^{3}+\cdots.
Aqui identificamos os coeficientes das potências negativas que podem contribuir para o termo z^{-1} depois da multiplicação com a outra série.

Passo 6

Multiplicar \dfrac{\operatorname{senh} z}{z^{4}} pela série de \dfrac{1}{1-z^{2}} e identificar os termos que produzem z^{-1}:
Temos
f(z)=\frac{\operatorname{senh} z}{z^{4}(1-z^{2})}=\left(z^{-3}+\frac{1}{6}z^{-1}+\frac{1}{120}z+\frac{1}{5040}z^{3}+\cdots\right)\left(1+z^{2}+z^{4}+z^{6}+\cdots\right).
Para obter o coeficiente de z^{-1} na multiplicação, observamos quais produtos de termos geram a potência z^{-1}:
  • z^{-3} (da primeira série) multiplicado por z^{2} (da segunda) dá z^{-1}, contribuindo com coeficiente 1\cdot 1 = 1.
  • \dfrac{1}{6}z^{-1} (da primeira série) multiplicado por 1 (da segunda) dá z^{-1}, contribuindo com coeficiente \dfrac{1}{6}\cdot 1 = \dfrac{1}{6}.
    Não há outros produtos que gerem z^{-1}, porque todos os outros termos da primeira série têm expoentes \ge 1 ou \le -3 (o próximo negativo seria z^{-5}, que não aparece), e a segunda série tem apenas potências não negativas. Portanto o coeficiente total de z^{-1} é a soma dessas contribuições:
\text{coeficiente de }z^{-1} = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}.

Passo 7

Interpretação final do que encontramos (resumo curto, encorajador):
O coeficiente de z^{-1} na expansão de Laurent de f em torno de 0 é \dfrac{7}{6}. Esse número é exatamente o resíduo que queríamos. Boa! Você pode usar esse procedimento em outras funções: expanda as séries (Taylor/Laurent) até obter os termos que podem produzir z^{-1} ao multiplicar e some as contribuições.

Resposta

\dfrac{7}{6}

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