Encontre o resíduo em
da função
.
Passo 1
O enunciado pede o resíduo da função
no ponto
.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
Não há outras informações externas; tudo o que precisamos está no enunciado.
Passo 2
O que é o resíduo e como vamos encontrá‑lo (explicação didática, sem pular etapas):
O resíduo de em
é o coeficiente do termo
na expansão de Laurent de
em torno de
. Ou seja, se
O resíduo de
então o resíduo é
. A estratégia mais direta aqui é expandir
em série em torno de
(Laurent) e identificar o coeficiente de
.
Passo 3
Expandir
(seno hiperbólico) em série de potências em torno de
:
Lembrando a série de Taylor conhecida,
Lembrando a série de Taylor conhecida,
Vou escrever alguns termos iniciais que serão suficientes:
Passo 4
Expandir
como série (série geométrica):
Para ,
Para
Essa é uma série com apenas potências pares não negativas.
Passo 5
Formar a série de
primeiro (dividir a série da
por
):
Dividindo termo a termo,
Dividindo termo a termo,
ou seja
Aqui identificamos os coeficientes das potências negativas que podem contribuir para o termo
depois da multiplicação com a outra série.
Passo 6
Multiplicar
pela série de
e identificar os termos que produzem
:
Temos
Temos
Para obter o coeficiente de
na multiplicação, observamos quais produtos de termos geram a potência
:
-
(da primeira série) multiplicado por (da segunda) dá , contribuindo com coeficiente . -
(da primeira série) multiplicado por (da segunda) dá , contribuindo com coeficiente .
Não há outros produtos que gerem, porque todos os outros termos da primeira série têm expoentes ou (o próximo negativo seria , que não aparece), e a segunda série tem apenas potências não negativas. Portanto o coeficiente total de é a soma dessas contribuições:
Passo 7
Interpretação final do que encontramos (resumo curto, encorajador):
O coeficiente de na expansão de Laurent de
em torno de
é
. Esse número é exatamente o resíduo que queríamos. Boa! Você pode usar esse procedimento em outras funções: expanda as séries (Taylor/Laurent) até obter os termos que podem produzir
ao multiplicar e some as contribuições.
O coeficiente de