Use o teorema dos resíduos de Cauchy (Seção 76) para calcular a integral de cada uma dessas funções ao longo do círculo
no sentido positivo.
;
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral de contorno, no sentido positivo, ao longo do círculo
da função
.
Informações dadas e observações iniciais:
- A curva de integração é o círculo
, fechado e orientado positivamente (no sentido anti-horário). - A função é
. - A singularidade aparente está em
(porque o denominador z^2 anula-se aí). Essa é a única singularidade de no plano complexo que pode estar dentro de . - O objetivo é calcular
.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: o Teorema dos Resíduos de Cauchy. Vou explicar o que ele diz de forma direta e como aplicamos aqui.
Enunciado (versão prática): se
é meromorfa numa região que contenha um contorno fechado simples
e todas as singularidades isoladas
de
que estão dentro de
, então
onde
é o resíduo de
em
— isto é, o coeficiente de
na expansão de Laurent de
em torno de
.
Além disso, para um polo de ordem
em
existe a fórmula prática
Aqui vou aplicar essa fórmula ao ponto
. Antes de derivar, explico o que cada símbolo significa:
-
é a ordem do polo (se for um polo simples, ; se for polo duplo, , etc.); -
remove o comportamento singular; ao derivar vezes e tomar o limite, obtemos o coeficiente de .
Passo 3
Identificar a ordem da singularidade em
para
.
Multiplicando por
vemos que
, que é uma função inteira (analítica em todo lugar). Portanto a singularidade em
é um polo de ordem
(polo duplo).
Agora aplico a fórmula do resíduo para
:
Calcule a derivada:
. Tomando o limite em
obtemos
Comentário didático: aqui a operação foi bem simples porque
já era uma soma de potências; diferenciar uma vez nos deu imediatamente o coeficiente desejado.
Passo 4
Verificação alternativa (opcional, útil para entender o que é resíduo): usar a série de Taylor/Laurent de
em torno de
:
Dividindo por
obtemos a expansão de Laurent de
:
O resíduo é o coeficiente de
. Para
precisamos de
, ou seja
. Assim o coeficiente é
confirmando
.
Passo 5
Aplicando o Teorema dos Resíduos: há apenas a singularidade
dentro do círculo
, cujo resíduo já achamos ser
. Portanto