Use o teorema dos resíduos de Cauchy (Seção 76) para calcular a integral de cada uma dessas funções ao longo do círculo |z|=3 no sentido positivo.
\frac{\exp (-z)}{z^{2}};

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral de contorno, no sentido positivo, ao longo do círculo |z|=3 da função \displaystyle \frac{\exp(-z)}{z^{2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A curva de integração é o círculo |z|=3, fechado e orientado positivamente (no sentido anti-horário).
  • A função é \displaystyle f(z)=\frac{e^{-z}}{z^{2}}.
  • A singularidade aparente está em z=0 (porque o denominador z^2 anula-se aí). Essa é a única singularidade de f no plano complexo que pode estar dentro de |z|=3.
  • O objetivo é calcular \displaystyle \oint_{|z|=3} \frac{e^{-z}}{z^{2}}\,dz.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: o Teorema dos Resíduos de Cauchy. Vou explicar o que ele diz de forma direta e como aplicamos aqui.
Enunciado (versão prática): se f é meromorfa numa região que contenha um contorno fechado simples \Gamma e todas as singularidades isoladas z_k de f que estão dentro de \Gamma, então
\oint_{\Gamma} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k} \operatorname{Res}(f,z_k),
onde \operatorname{Res}(f,z_k) é o resíduo de f em z_k — isto é, o coeficiente de \dfrac{1}{z-z_k} na expansão de Laurent de f em torno de z_k.
Além disso, para um polo de ordem m em z_0 existe a fórmula prática
\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\left[(z-z_0)^m f(z)\right].
Aqui vou aplicar essa fórmula ao ponto z_0=0. Antes de derivar, explico o que cada símbolo significa:
  • m é a ordem do polo (se for um polo simples, m=1; se for polo duplo, m=2, etc.);
  • (z-z_0)^m f(z) remove o comportamento singular; ao derivar m-1 vezes e tomar o limite, obtemos o coeficiente de 1/(z-z_0).

Passo 3

Identificar a ordem da singularidade em z=0 para \displaystyle f(z)=\frac{e^{-z}}{z^{2}}.
Multiplicando por z^2 vemos que (z-0)^2 f(z)=e^{-z}, que é uma função inteira (analítica em todo lugar). Portanto a singularidade em z=0 é um polo de ordem m=2 (polo duplo).
Agora aplico a fórmula do resíduo para m=2:
\operatorname{Res}\big(f,0\big)=\frac{1}{(2-1)!}\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}\left[z^{2}\cdot\frac{e^{-z}}{z^{2}}\right] =\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}\big(e^{-z}\big).
Calcule a derivada: \dfrac{d}{dz}e^{-z} = -e^{-z}. Tomando o limite em z\to 0 obtemos
\operatorname{Res}\big(f,0\big) = -e^{0} = -1.
Comentário didático: aqui a operação foi bem simples porque z^2 f(z)=e^{-z} já era uma soma de potências; diferenciar uma vez nos deu imediatamente o coeficiente desejado.

Passo 4

Verificação alternativa (opcional, útil para entender o que é resíduo): usar a série de Taylor/Laurent de e^{-z} em torno de 0:
e^{-z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}z^{n}.
Dividindo por z^{2} obtemos a expansão de Laurent de f:
\frac{e^{-z}}{z^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}z^{n-2}.
O resíduo é o coeficiente de z^{-1}. Para z^{-1} precisamos de n-2=-1, ou seja n=1. Assim o coeficiente é
\frac{(-1)^1}{1!} = -1,
confirmando \operatorname{Res}(f,0)=-1.

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos: há apenas a singularidade z=0 dentro do círculo |z|=3, cujo resíduo já achamos ser -1. Portanto
\oint_{|z|=3}\frac{e^{-z}}{z^{2}}\,dz = 2\pi i \cdot \big(\operatorname{Res}(f,0)\big) = 2\pi i \cdot (-1) = -2\pi i.

Resposta

-2\pi i

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