Use o teorema da Seção 21 para mostrar que não existe f^{\prime}(z) em ponto algum se
f(z)=\bar{z};

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(z)=\overline{z}
não tem derivada complexa em nenhum ponto de \mathbb{C}. Vamos usar o Teorema da Seção 21 (condições de Cauchy–Riemann) que diz que, se f é diferenciável num ponto, suas partes real e imaginária têm derivadas parciais contínuas que satisfazem as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, temos
f(z)=\overline{z}=x-iy.
Logo podemos identificar
u(x,y)=x, \qquad v(x,y)=-y,
onde f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u e v:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x)=1, \quad u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x)=0,
v_x=\frac{\partial}{\partial x}(-y)=0, \quad v_y=\frac{\partial}{\partial y}(-y)=-1.

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann exigem
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.
Substituindo, teríamos
1 = -1 \quad\text{e}\quad 0 = -0,
mas 1\neq -1. Portanto as condições de Cauchy–Riemann não se cumprem em nenhum ponto de \mathbb{C}.

Resposta

Não existe f'(z) em ponto algum, pois as equações de Cauchy–Riemann falham para f(z)=\overline{z}.

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