Use o teorema da Seção 21 para mostrar que não existe
em ponto algum se
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
não tem derivada complexa em nenhum ponto de
. Vamos usar o Teorema da Seção 21 (condições de Cauchy–Riemann) que diz que, se
é diferenciável num ponto, suas partes real e imaginária têm derivadas parciais contínuas que satisfazem as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Escrevendo
, temos
Logo podemos identificar
onde
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
e
:
Passo 4
As equações de Cauchy–Riemann exigem
Substituindo, teríamos
mas
. Portanto as condições de Cauchy–Riemann não se cumprem em nenhum ponto de
.
Resposta
Não existe
em ponto algum, pois as equações de Cauchy–Riemann falham para
.