Use o teorema da Seção 23 para mostrar que f^{\prime}(z) e sua derivada f^{\prime \prime}(z) existem em toda parte e encontre f^{\prime \prime}(z) se
f(z)=z^{3};

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, usando o teorema da Seção 23 (que diz que se as partes reais u(x,y) e imaginárias v(x,y) de f(z)=u+iv têm derivadas parciais contínuas em uma região e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann, então f é diferenciável ali), a derivada f'(z) existe em todo \mathbb{C} e, em seguida, provar que a derivada de f'(z), isto é f''(z), também existe em todo \mathbb{C}. Por fim, encontrar explicitamente f''(z) para f(z)=z^3.

Passo 2

Escrevemos z=x+iy e expandimos
f(z)=(x+iy)^3 =x^3+3ix^2y-3xy^2-i\,y^3 =(x^3-3xy^2)+i\,(3x^2y-y^3).
Logo
u(x,y)=x^3-3xy^2, \quad v(x,y)=3x^2y-y^3.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-6xy,
\frac{\partial v}{\partial x}=6xy, \quad \frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2.
Verificamos então as equações de Cauchy–Riemann:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Como essas parciais são polinômios (logo contínuas) e satisfazem as CR, concluímos que f'(z) existe para todo z.

Passo 4

Pelo teorema,
f'(z) =\frac{\partial u}{\partial x}+i\,\frac{\partial v}{\partial x} =(3x^2-3y^2)+i\,(6xy) =3\bigl(x^2-y^2+ i\,2xy\bigr) =3z^2.

Passo 5

Agora f'(z)=3z^2 é também um polinômio em z. Suas partes reais e imaginárias têm parciais contínuas e satisfazem CR, logo f''(z) existe em todo \mathbb{C}. Basta derivar:
f''(z)=\frac{d}{dz}\bigl(3z^2\bigr)=6z.

Resposta

f''(z)=6z.

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