Use o teorema da Seção 23 para mostrar que
e sua derivada
existem em toda parte e encontre
se
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, usando o teorema da Seção 23 (que diz que se as partes reais
e imaginárias
de
têm derivadas parciais contínuas em uma região e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann, então
é diferenciável ali), a derivada
existe em todo
e, em seguida, provar que a derivada de
, isto é
, também existe em todo
. Por fim, encontrar explicitamente
para
.
Passo 2
Escrevemos
e expandimos
Logo
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Verificamos então as equações de Cauchy–Riemann:
Como essas parciais são polinômios (logo contínuas) e satisfazem as CR, concluímos que
existe para todo
.
Passo 4
Pelo teorema,
Passo 5
Agora
é também um polinômio em
. Suas partes reais e imaginárias têm parciais contínuas e satisfazem CR, logo
existe em todo
. Basta derivar: