Use o teorema da Seção 23 para mostrar que f^{\prime}(z) e sua derivada f^{\prime \prime}(z) existem em toda parte e encontre f^{\prime \prime}(z) se
f(z)=e^{-x} e^{-i y};

Passo 1

O enunciado pede para usar o teorema da Seção 23 (condições de Cauchy–Riemann) para mostrar que f'(z) e f''(z) existem em toda parte, e determinar f''(z) quando
f(z)=e^{-x}e^{-i y}.
O conteúdo aqui é verificar as condições de Cauchy–Riemann em \R^2 e, em seguida, obter as derivadas complexas.

Passo 2

Escrevemos
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),
onde
u(x,y)=e^{-x}\cos y, \qquad v(x,y)=-\,e^{-x}\sin y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
u_x=-\,e^{-x}\cos y, \quad u_y=-\,e^{-x}\sin y,
v_x=-\,(-e^{-x}\sin y)=e^{-x}\sin y, \quad v_y=-\,e^{-x}\cos y.

Passo 4

Verificamos as condições de Cauchy–Riemann:
u_x = -e^{-x}\cos y = v_y, \qquad u_y = -e^{-x}\sin y = -\,v_x.
Logo, f é holomorfa em todo \C e f'(z) existe em toda parte.

Passo 5

Pela fórmula
f'(z)=u_x + i\,v_x
temos
f'(z) =-\,e^{-x}\cos y + i\,\bigl(e^{-x}\sin y\bigr) =-\,e^{-x}\bigl(\cos y - i\sin y\bigr) =-\,e^{-x}e^{-i y} =-\,e^{-z}.

Passo 6

Como \displaystyle f'(z)=-e^{-z}, diferenciando novamente obtemos
f''(z)=\frac{d}{dz}\bigl(-e^{-z}\bigr) =-\bigl(-e^{-z}\bigr) =e^{-z}.

Resposta

f''(z)=e^{-z}.

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