Use o teorema da Seção 23 para mostrar que
e sua derivada
existem em toda parte e encontre
se
;
Passo 1
O enunciado pede para usar o teorema da Seção 23 (condições de Cauchy–Riemann) para mostrar que
e
existem em toda parte, e determinar
quando
O conteúdo aqui é verificar as condições de Cauchy–Riemann em
e, em seguida, obter as derivadas complexas.
Passo 2
Escrevemos
onde
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Verificamos as condições de Cauchy–Riemann:
Logo,
é holomorfa em todo
e
existe em toda parte.
Passo 5
Pela fórmula
temos
Passo 6
Como
, diferenciando novamente obtemos