De acordo com o Exemplo 2 da Seção 24, a função
g(z)=\sqrt{r} e^{i \theta / 2} \quad(r>0,-\pi<\theta<\pi)
é analítica em seu domínio de definição, com derivada
g^{\prime}(z)=\frac{1}{2 g(z)}
Mostre que a função composta G(z)=g(2 z-2+i) é analítica no semiplano x>1, com derivada
G^{\prime}(z)=\frac{1}{g(2 z-2+i)}
Sugestão: observe que \operatorname{Re}(2 z-2+i)>0 \operatorname{se} x>1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função g e as informações abaixo:
  • A função g é dada em coordenadas polares pela fórmula
g(z)=\sqrt{r}\,e^{i\theta/2},\qquad (r>0,\; -\pi<\theta<\pi),
isto é, g é a raiz quadrada principal definida no domínio dos complexos sem o semieixo real negativo (e sem o zero).
  • O enunciado afirma que g é analítica nesse domínio e que sua derivada é
g'(z)=\frac{1}{2\,g(z)}.
  • Define-se a função composta
G(z)=g(2z-2+i).
O que o problema pede:
  • Mostrar que G é analítica no semiplano \{z\in\mathbb{C}\mid x>1\} (onde z=x+iy).
  • Mostrar que a derivada de G é
G'(z)=\frac{1}{g(2z-2+i)}.
Informações úteis dadas ou óbvias a partir do enunciado:
  • A sugestão do enunciado é que \operatorname{Re}(2z-2+i)>0 quando x>1; isto será usado para garantir que o argumento de 2z-2+i fica em (-\pi,\pi) e que o módulo é positivo, ou seja, 2z-2+i está no domínio de definição de g.

Passo 2

Vou analisar a transformação interna \varphi(z)=2z-2+i (essa é a função que entra em g na composição).
Calculemos a parte real de \varphi(z). Escrevendo z=x+iy temos
\varphi(z)=2(x+iy)-2+i = (2x-2) + i(2y+1).
Portanto
\operatorname{Re}(\varphi(z))=2x-2.
Se x>1 então 2x-2>0, ou seja,
\operatorname{Re}(\varphi(z))>0 \quad\text{para } x>1.
Além disso, verificar se \varphi(z) pode ser zero quando x>1. Resolver \varphi(z)=0
2z-2+i=0 \quad\Rightarrow\quad z=1-\tfrac{i}{2},
cuja parte real é 1, não estritamente maior que 1. Logo, para todo z com x>1 temos \varphi(z)\neq 0. Em particular, |\varphi(z)|>0 e o argumento \arg(\varphi(z)) está bem definido.
Agora, se \operatorname{Re}(\varphi(z))>0, o argumento de \varphi(z) satisfa z
-\tfrac{\pi}{2}<\arg(\varphi(z))<\tfrac{\pi}{2},
que é um subconjunto de (-\pi,\pi). Portanto, para todo z com x>1 temos que \varphi(z) pertence ao domínio de definição de g (isto é, r>0 e -\pi<\theta<\pi). Concluímos que a composição g(\varphi(z)) está bem definida para todo z com x>1.

Passo 3

Agora uso propriedades de funções analíticas e composição.
Primeiro, a função linear \varphi(z)=2z-2+i é inteira (ou seja, analítica em todo \mathbb{C}) — lembre que polinômios e funções lineares são analíticas sempre. Pelo enunciado, g é analítica no seu domínio (no qual acabamos de ver que \varphi(z) entra sempre quando x>1).
Fato importante (cadeia de raciocínio padrão): a composição de duas funções analíticas é analítica em qualquer conjunto onde a função interior leva pontos para o domínio da função exterior. Aplicando isso aqui, como \varphi é analítica e \varphi(z) pertence ao domínio de g sempre que x>1, a composição
G(z)=g(\varphi(z))=g(2z-2+i)
é analítica no semiplano \{z\mid x>1\}.
(Comentário prático: isto é exatamente por que o enunciado sugeriu checar \operatorname{Re}(2z-2+i)>0.)

Passo 4

Agora calculamos a derivada G'(z) usando a regra da cadeia para funções analíticas.
Passos para aplicar a regra da cadeia:
  • A derivada de \varphi(z)=2z-2+i é simplesmente
\varphi'(z)=2,
porque a derivada de 2z é 2 e constantes desaparecem.
  • Pelo enunciado, para w no domínio de g vale
g'(w)=\frac{1}{2\,g(w)}.
  • Aplicando a regra da cadeia para G(z)=g(\varphi(z)) obtemos
G'(z)=g'(\varphi(z))\cdot \varphi'(z).
Substituindo as expressões conhecidas:
G'(z)=\frac{1}{2\,g(\varphi(z))}\cdot 2.
Simplificando o 2 no numerador com o 2 do denominador:
G'(z)=\frac{1}{g(\varphi(z))}.
Reescrevendo \varphi(z) de volta em termos de z,
G'(z)=\frac{1}{g(2z-2+i)}.
Observação sobre existência do denominador: como já mostramos no Passo 2, para x>1 tem-se \varphi(z)\neq 0, logo g(\varphi(z))=\sqrt{\varphi(z)} também é diferente de zero; assim o denominador não anula e a expressão está bem definida.

Passo 5

Resumo didático rápido (para você lembrar na prova):
  • Verifique sempre que o argumento interno da composição entra no domínio da função exterior. Aqui isso veio de \operatorname{Re}(2z-2+i)=2x-2>0 quando x>1.
  • Use que uma função linear tem derivada constante (aqui 2).
  • Aplique a regra da cadeia: derive a externa (avaliada na interna) e multiplique pela derivada da interna.
  • Use a fórmula já conhecida \,g'(w)=\dfrac{1}{2g(w)}\, para fazer o cálculo final.
Força aí — você já praticamente tem a resolução pronta para anotar na folha da prova!

Resposta

A função G é analítica no semiplano x>1 e
G'(z)=\frac{1}{g(2z-2+i)}.

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