De acordo com o Exemplo 2 da Seção 24, a função
é analítica em seu domínio de definição, com derivada
Mostre que a função composta
é analítica no semiplano
, com derivada
Sugestão: observe que
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e as informações abaixo:
- A função
é dada em coordenadas polares pela fórmula
isto é,
é a raiz quadrada principal definida no domínio dos complexos sem o semieixo real negativo (e sem o zero).
- O enunciado afirma que
é analítica nesse domínio e que sua derivada é
- Define-se a função composta
O que o problema pede:
- Mostrar que
é analítica no semiplano (onde ). - Mostrar que a derivada de
é
Informações úteis dadas ou óbvias a partir do enunciado:
- A sugestão do enunciado é que
quando ; isto será usado para garantir que o argumento de fica em e que o módulo é positivo, ou seja, está no domínio de definição de .
Passo 2
Vou analisar a transformação interna
(essa é a função que entra em
na composição).
Calculemos a parte real de
. Escrevendo
temos
Portanto
Se
então
, ou seja,
Além disso, verificar se
pode ser zero quando
. Resolver
dá
cuja parte real é
, não estritamente maior que
. Logo, para todo
com
temos
. Em particular,
e o argumento
está bem definido.
Agora, se
, o argumento de
satisfa z
que é um subconjunto de
. Portanto, para todo
com
temos que
pertence ao domínio de definição de
(isto é,
e
). Concluímos que a composição
está bem definida para todo
com
.
Passo 3
Agora uso propriedades de funções analíticas e composição.
Primeiro, a função linear
é inteira (ou seja, analítica em todo
) — lembre que polinômios e funções lineares são analíticas sempre. Pelo enunciado,
é analítica no seu domínio (no qual acabamos de ver que
entra sempre quando
).
Fato importante (cadeia de raciocínio padrão): a composição de duas funções analíticas é analítica em qualquer conjunto onde a função interior leva pontos para o domínio da função exterior. Aplicando isso aqui, como
é analítica e
pertence ao domínio de
sempre que
, a composição
é analítica no semiplano
.
(Comentário prático: isto é exatamente por que o enunciado sugeriu checar
.)
Passo 4
Agora calculamos a derivada
usando a regra da cadeia para funções analíticas.
Passos para aplicar a regra da cadeia:
- A derivada de
é simplesmente
porque a derivada de
é
e constantes desaparecem.
- Pelo enunciado, para
no domínio de vale
- Aplicando a regra da cadeia para
obtemos
Substituindo as expressões conhecidas:
Simplificando o
no numerador com o
do denominador:
Reescrevendo
de volta em termos de
,
Observação sobre existência do denominador: como já mostramos no Passo 2, para
tem-se
, logo
também é diferente de zero; assim o denominador não anula e a expressão está bem definida.
Passo 5
Resumo didático rápido (para você lembrar na prova):
- Verifique sempre que o argumento interno da composição entra no domínio da função exterior. Aqui isso veio de
quando . - Use que uma função linear tem derivada constante (aqui
). - Aplique a regra da cadeia: derive a externa (avaliada na interna) e multiplique pela derivada da interna.
- Use a fórmula já conhecida
para fazer o cálculo final.
Força aí — você já praticamente tem a resolução pronta para anotar na folha da prova!
Resposta
A função
é analítica no semiplano
e