Mostre que as sequências são monótonas (crescentes ou decrescentes):
c_{n}=\frac{n!}{n^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
c_{n}=\frac{n!}{n^{n}},\quad n\in\mathbb{N},
e pede para mostrar que ela é monótona. O conteúdo necessário é o critério do quociente para sequências: compararemos c_{n+1} e c_{n}.

Passo 2

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
\frac{c_{n+1}}{c_{n}} =\frac{\displaystyle\frac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}} {\displaystyle\frac{n!}{n^{n}}} =\frac{(n+1)!\,n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}\,n!} =\frac{(n+1)\,n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}}.

Passo 3

Simplificando a expressão obtemos
\frac{c_{n+1}}{c_{n}} =\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} =\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n}.
Como \frac{n}{n+1}<1 e n é positivo, segue que
\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n}<1.

Passo 4

Como para todo n\in\mathbb{N} vale \frac{c_{n+1}}{c_{n}}<1, concluímos que
c_{n+1}<c_{n}.
Logo, a sequência (c_{n}) é monótona decrescente.

Resposta

A sequência \bigl(c_{n}\bigr)_{n\ge1} é monótona decrescente.

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