Use o Teorema de Stokes Para calcular \int_{C} \mathbf{F} \cdot d r. Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x^{2}+y\right) \mathbf{i}+\left(y+z^{2}\right) \mathbf{j}+\left(z+y^{2}\right) \mathbf{k}, C é um triângulo com vértices (3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dados:
  • Pede-se calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
  • O campo vetorial é \displaystyle \mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(x^{2}+y\bigr)\mathbf{i}+\bigl(y+z^{2}\bigr)\mathbf{j}+\bigl(z+y^{2}\bigr)\mathbf{k}.
  • A curva C é o contorno do triângulo com vértices (3,0,0), (0,3,0), (0,0,3).
  • A orientação de C é anti-horária quando vista de cima (ou seja, vista do sentido positivo do eixo z).

Passo 2

Aplicando o Teorema de Stokes (explicação curta e fórmula):
  • O Teorema de Stokes relaciona a integral de linha do campo ao fluxo do rotor (curl) através de uma superfície S cujo contorno é C:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS,
onde \nabla\times\mathbf{F} é o rotor de \mathbf{F} e \mathbf{n} é o vetor normal orientado de S compatível com a orientação de C pelo sentido da regra da mão direita.
  • Em palavras: em vez de parametrizar o contorno, podemos calcular o rotor do campo e integrar seu produto escalar com a normal sobre a superfície triangular. Isso costuma ser bem mais simples quando se escolhe uma superfície plana.

Passo 3

Calcular o rotor \nabla\times\mathbf{F} (explicando cada derivada):
  • Definição em componentes:
\nabla\times\mathbf{F}=\Bigl(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},\;\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},\;\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\Bigr).
  • Aqui F_{1}=x^{2}+y,\;F_{2}=y+z^{2},\;F_{3}=z+y^{2}.
Calculemos termo a termo:
\frac{\partial F_{3}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(z+y^{2})=2y, \qquad \frac{\partial F_{2}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(y+z^{2})=2z,
logo a primeira componente é 2y-2z=2(y-z).
\frac{\partial F_{1}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}+y)=0, \qquad \frac{\partial F_{3}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(z+y^{2})=0,
logo a segunda componente é 0-0=0.
\frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y+z^{2})=0, \qquad \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y)=1,
logo a terceira componente é 0-1=-1.
Portanto
\nabla\times\mathbf{F}=\bigl(2(y-z),\;0,\;-1\bigr).

Passo 4

Escolher a superfície S e a normal compatível com a orientação:
  • O triângulo está no plano que passa pelos três pontos; a equação desse plano é
x+y+z=3.
  • Podemos tomar S como a parte desse plano limitada pelo triângulo, e parámetrizar como gráfico de z sobre a projeção no plano xy:
z=g(x,y)=3-x-y.
  • A projeção D no plano xy é o triângulo com vértices (0,0), (3,0), (0,3); ou seja
D=\{(x,y)\mid x\ge 0,\;y\ge 0,\;x+y\le 3\}.
  • Sobre orientação: “anti-horária vista de cima” significa que, visto do sentido positivo de z, o contorno corre no sentido anti-horário. Pela regra da mão direita, isso corresponde a escolher a normal de S com componente z positiva. Para superfícies do tipo z=g(x,y), um vetor normal (não unitário) adequado é
\mathbf{n}\,dS =(-g_{x},-g_{y},1)\,dA.
Aqui g_{x}=-1,\;g_{y}=-1, então
\mathbf{n}\,dS=(1,1,1)\,dA.
Isso tem componente z positiva, portanto compatível com a orientação dada.

Passo 5

Substituir \nabla\times\mathbf{F} e a normal e reduzir a integral ao plano xy:
  • Primeiro, substituir z=3-x-y na expressão do rotor para escrever tudo em função de x,y:
\nabla\times\mathbf{F}=\bigl(2(y-z),0,-1\bigr) =\bigl(2\bigl(y-(3-x-y)\bigr),0,-1\bigr).
Calcule y-z:
y-z=y-(3-x-y)=x+2y-3,
logo a primeira componente é 2(x+2y-3)=2x+4y-6. Assim
\nabla\times\mathbf{F}=\bigl(2x+4y-6,\;0,\;-1\bigr)
quando restringido à superfície S.
  • Agora o produto escalar com \mathbf{n}\,dS=(1,1,1)\,dA é
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\bigl(2x+4y-6,\;0,\;-1\bigr)\cdot(1,1,1)\,dA.
  • Fazendo o produto escalar:
(2x+4y-6)\cdot1 + 0\cdot1 + (-1)\cdot1 = 2x+4y-6-1 = 2x+4y-7.
Portanto, pela fórmula de Stokes a integral de linha passa a ser a integral dupla
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{D}\bigl(2x+4y-7\bigr)\,dA,
com D o triângulo x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le3.

Passo 6

Calcular a integral dupla passo a passo (sem pular etapas):
  • Escrevemos com limites iterados (integrar em y primeiro):
\iint_{D}(2x+4y-7)\,dA=\int_{x=0}^{3}\left(\int_{y=0}^{3-x}(2x+4y-7)\,dy\right)dx.
  • Calcule a integral interna em y:
\int_{0}^{3-x}(2x+4y-7)\,dy=(2x-7)(3-x)+4\int_{0}^{3-x}y\,dy.
A integral de y é \dfrac{(3-x)^{2}}{2}, então
(2x-7)(3-x)+4\cdot\frac{(3-x)^{2}}{2}=(2x-7)(3-x)+2(3-x)^{2}.
  • Expandindo e somando termos (mostrando a simplificação):
(2x-7)(3-x)=-2x^{2}+13x-21,
2(3-x)^{2}=2(9-6x+x^{2})=18-12x+2x^{2}.
Somando:
(-2x^{2}+13x-21)+(18-12x+2x^{2})=x-3.
Assim a integral interna simplifica para x-3.
  • Agora integrar em x:
\int_{0}^{3}(x-3)\,dx=\left[\tfrac{1}{2}x^{2}-3x\right]_{0}^{3} =\left(\tfrac{1}{2}\cdot 9-9\right)-0=\tfrac{9}{2}-9=-\tfrac{9}{2}.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida do sinal:
  • O resultado obtido é -\tfrac{9}{2}.
  • Se a orientação de C tivesse sido a contrária, o sinal mudaria; aqui usamos a normal com componente z positiva porque o enunciado pediu orientação anti-horária vista de cima, então o sinal está consistente.

Resposta

-\tfrac{9}{2}

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