Use o Teorema de Stokes Para calcular
. Em cada caso,
é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
é um triângulo com vértices
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dados:
- Pede-se calcular a integral de linha
. - O campo vetorial é
- A curva
é o contorno do triângulo com vértices , , . - A orientação de
é anti-horária quando vista de cima (ou seja, vista do sentido positivo do eixo ).
Passo 2
Aplicando o Teorema de Stokes (explicação curta e fórmula):
- O Teorema de Stokes relaciona a integral de linha do campo ao fluxo do rotor (curl) através de uma superfície
cujo contorno é :
onde
é o rotor de
e
é o vetor normal orientado de
compatível com a orientação de
pelo sentido da regra da mão direita.
- Em palavras: em vez de parametrizar o contorno, podemos calcular o rotor do campo e integrar seu produto escalar com a normal sobre a superfície triangular. Isso costuma ser bem mais simples quando se escolhe uma superfície plana.
Passo 3
Calcular o rotor
(explicando cada derivada):
- Definição em componentes:
- Aqui
.
Calculemos termo a termo:
logo a primeira componente é
.
logo a segunda componente é
.
logo a terceira componente é
.
Portanto
Passo 4
Escolher a superfície
e a normal compatível com a orientação:
- O triângulo está no plano que passa pelos três pontos; a equação desse plano é
- Podemos tomar
como a parte desse plano limitada pelo triângulo, e parámetrizar como gráfico de sobre a projeção no plano :
- A projeção
no plano é o triângulo com vértices , , ; ou seja
- Sobre orientação: “anti-horária vista de cima” significa que, visto do sentido positivo de
, o contorno corre no sentido anti-horário. Pela regra da mão direita, isso corresponde a escolher a normal de com componente positiva. Para superfícies do tipo , um vetor normal (não unitário) adequado é
Aqui
, então
Isso tem componente
positiva, portanto compatível com a orientação dada.
Passo 5
Substituir
e a normal e reduzir a integral ao plano
:
- Primeiro, substituir
na expressão do rotor para escrever tudo em função de :
Calcule
:
logo a primeira componente é
. Assim
quando restringido à superfície
.
- Agora o produto escalar com
é
- Fazendo o produto escalar:
Portanto, pela fórmula de Stokes a integral de linha passa a ser a integral dupla
com
o triângulo
.
Passo 6
Calcular a integral dupla passo a passo (sem pular etapas):
- Escrevemos com limites iterados (integrar em
primeiro):
- Calcule a integral interna em
:
A integral de
é
, então
- Expandindo e somando termos (mostrando a simplificação):
Somando:
Assim a integral interna simplifica para
.
- Agora integrar em
:
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida do sinal:
- O resultado obtido é
. - Se a orientação de
tivesse sido a contrária, o sinal mudaria; aqui usamos a normal com componente positiva porque o enunciado pediu orientação anti-horária vista de cima, então o sinal está consistente.