Use o Teorema de Stokes Para calcular \int_{C} \mathbf{F} \cdot d r. Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x^{2}-y\right) \mathbf{i}+4 z \mathbf{j}+x^{2} \mathbf{k}, C é a curva de interseção do plano z=3 com o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}. As informações dadas são:
  • \mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(x^{2}-y\bigr)\mathbf{i}+4z\,\mathbf{j}+x^{2}\,\mathbf{k}.
  • C é a curva de interseção do plano z=3 com o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Observação geométrica (pego do enunciado): a interseção ocorre quando \sqrt{x^{2}+y^{2}}=3, portanto C é o círculo de raio 3 no plano z=3, com equação x^{2}+y^{2}=9,\; z=3.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Stokes (o que vou usar): para uma superfície orientada S com fronteira \partial S=C,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}\bigl(\nabla\times\mathbf{F}\bigr)\cdot \mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{n} é o versor normal à superfície escolhido de acordo com a orientação de C via a regra da mão direita. Explicando sem jargão: a integral de linha ao longo da curva fechada pode ser trocada por uma integral de superfície do rotacional de \mathbf{F} sobre qualquer superfície cujo contorno seja essa curva.

Passo 3

Escolha da superfície S e orientação: como C está no plano horizontal z=3 e é um círculo de raio 3, a escolha natural é tomar S como o disco planar
S=\{(x,y,3)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.
A orientação pedida é “anti-horário quando vista de cima”. Vista de cima (direção do eixo z positivo), sentido anti-horário corresponde ao versor normal apontando para cima, isto é \mathbf{n}=\mathbf{k} (o versor unitário em z). Portanto, ao aplicar Stokes devo usar \mathbf{n}=\mathbf{k}.

Passo 4

Calcular o rotacional \nabla\times\mathbf{F}. Primeiro escrevo componentes P,Q,R:
P=x^{2}-y,\qquad Q=4z,\qquad R=x^{2}.
A definição das componentes do rotacional é
\nabla\times\mathbf{F}=\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Agora calculo cada derivada:
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(4z)=4.
    Logo primeira componente: 0-4=-4.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}-y)=0.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
    Logo segunda componente: 0-2x=-2x.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(4z)=0.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y)=-1.
    Logo terceira componente: 0-(-1)=1.
Portanto
\nabla\times\mathbf{F}=(-4,\\\ -2x,\\\ 1).

Passo 5

Avaliar \iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS. Com \mathbf{n}=\mathbf{k}=(0,0,1),
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}=(-4,\,-2x,\,1)\cdot(0,0,1)=1.
Ou seja, o integrando é constante igual a 1 sobre o disco. Como o plano é horizontal, dS é igual ao elemento de área no plano xy, denotado por dA. Assim
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{D} 1\,dA,
onde D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\} é o disco de raio 3 no plano xy.
Para calcular explicitamente em coordenadas polares:
\iint_{D}1\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} 1\cdot r\,dr\,d\theta.
Calculo interno:
\int_{0}^{3} r\,dr=\left.\tfrac{1}{2}r^{2}\right|_{0}^{3}=\tfrac{1}{2}\cdot 9=\tfrac{9}{2}.
Agora a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\tfrac{9}{2}\,d\theta=\tfrac{9}{2}\cdot 2\pi=9\pi.

Passo 6

Conclusão e verificação de sinal: aplicando o Teorema de Stokes com a orientação escolhida (normal para cima corresponde a curva orientada anti-horário vista de cima), obtemos
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS=9\pi.
O sinal está consistente com a orientação dada no enunciado.

Resposta

9\pi

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