Use o Teorema de Stokes Para calcular \int_{C} \mathbf{F} \cdot d r. Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. \mathbf{F}(x, y, z)=\left(x^{2}-y\right) \mathbf{i}+4 z \mathbf{j}+x^{2} \mathbf{k}, C é a curva de interseção do plano z=3 com o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}. As informações dadas são:
C é a curva de interseção do plano z=3 com o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Observação geométrica (pego do enunciado): a interseção ocorre quando \sqrt{x^{2}+y^{2}}=3, portanto C é o círculo de raio 3 no plano z=3, com equação x^{2}+y^{2}=9,\; z=3.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Stokes (o que vou usar): para uma superfície orientada S com fronteira \partial S=C,
onde \mathbf{n} é o versor normal à superfície escolhido de acordo com a orientação de C via a regra da mão direita. Explicando sem jargão: a integral de linha ao longo da curva fechada pode ser trocada por uma integral de superfície do rotacional de \mathbf{F} sobre qualquer superfície cujo contorno seja essa curva.
Passo 3
Escolha da superfície S e orientação: como C está no plano horizontal z=3 e é um círculo de raio 3, a escolha natural é tomar S como o disco planar
S=\{(x,y,3)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.
A orientação pedida é “anti-horário quando vista de cima”. Vista de cima (direção do eixo z positivo), sentido anti-horário corresponde ao versor normal apontando para cima, isto é \mathbf{n}=\mathbf{k} (o versor unitário em z). Portanto, ao aplicar Stokes devo usar \mathbf{n}=\mathbf{k}.
Passo 4
Calcular o rotacional \nabla\times\mathbf{F}. Primeiro escrevo componentes P,Q,R:
Ou seja, o integrando é constante igual a 1 sobre o disco. Como o plano é horizontal, dS é igual ao elemento de área no plano xy, denotado por dA. Assim
Conclusão e verificação de sinal: aplicando o Teorema de Stokes com a orientação escolhida (normal para cima corresponde a curva orientada anti-horário vista de cima), obtemos