Use o Teorema de Gauss para calcular \iint_{S}\left(3 x+3 y+z^{2}\right) d S onde S é a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}= 3.

Passo 1

O enunciado pede o valor de \iint_{S}\left(3x+3y+z^{2}\right)\,dS onde S é a esfera \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=3.
Informações dadas e observações úteis:
  • A superfície S é a esfera centrada na origem com raio \,R=\sqrt{3}.
  • O que se quer calcular é uma integral de superfície sobre uma superfície fechada (a esfera).

Passo 2

Idéia para resolver (explicação didática do conceito que será usado).
O Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência) diz que, para um campo vetorial \mathbf{F} suficientemente suave e uma região V limitada por uma superfície fechada orientada para fora \partial V,
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV,
onde \mathbf{n} é o vetor normal unitário exterior e \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}.
Aqui a integral dada é uma integral escalar \iint_{S}f\,dS com f(x,y,z)=3x+3y+z^{2}. Para aplicar Gauss queremos transformá-la em uma integral de fluxo \iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS. Assim, procuramos um campo \mathbf{F} tal que
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=3x+3y+z^{2}\quad\text{sobre a esfera }S.
Se encontrarmos \mathbf{F} com essa propriedade, então podemos usar o Teorema de Gauss para trocar a integral de superfície por uma integral de volume da divergência de \mathbf{F}.

Passo 3

Expressão do vetor normal unitário na esfera.
Para a esfera centrada na origem de raio \,R=\sqrt{3}, o vetor normal unitário exterior em um ponto (x,y,z) da superfície é
\mathbf{n}=\frac{(x,y,z)}{R}=\frac{(x,y,z)}{\sqrt{3}}.
Logo, para um campo \mathbf{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}),
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=\frac{xF_{1}+yF_{2}+zF_{3}}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Escolha de \mathbf{F} de forma simples que satisfaça \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=3x+3y+z^{2} na superfície.
Queremos
\frac{xF_{1}+yF_{2}+zF_{3}}{\sqrt{3}}=3x+3y+z^{2}\quad\Longrightarrow\quad xF_{1}+yF_{2}+zF_{3}=\sqrt{3}\,(3x+3y+z^{2}).
Uma escolha simples e direta que satisfaz essa identidade é tomar F_{1}=3\sqrt{3}, F_{2}=3\sqrt{3} e F_{3}=\sqrt{3}\,z. Assim definimos
\mathbf{F}=(3\sqrt{3},\,3\sqrt{3},\,\sqrt{3}\,z).
Verificação rápida na esfera:\
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=\frac{x(3\sqrt{3})+y(3\sqrt{3})+z(\sqrt{3}\,z)}{\sqrt{3}} =3x+3y+z^{2},
ou seja, funciona exatamente.

Passo 5

Calcular a divergência de \mathbf{F}.
A divergência é
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(3\sqrt{3})+\frac{\partial}{\partial y}(3\sqrt{3})+\frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{3}\,z).
As duas primeiras derivadas são zero porque 3\sqrt{3} é constante; a terceira é \sqrt{3}. Portanto
\nabla\cdot\mathbf{F}=\sqrt{3}.
É uma função constante no volume interior à esfera.

Passo 6

Aplicar o Teorema de Gauss e calcular a integral de volume.
Pelo Teorema de Gauss,
\iint_{S}\bigl(3x+3y+z^{2}\bigr)\,dS=\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV,
onde V é a bola de raio \sqrt{3}. Como \nabla\cdot\mathbf{F}=\sqrt{3} constante,
\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV=\sqrt{3}\cdot \operatorname{Vol}(V).
O volume da bola de raio R=\sqrt{3} é
\operatorname{Vol}(V)=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi\bigl(\sqrt{3}\bigr)^{3} =\frac{4}{3}\pi\cdot 3\sqrt{3}=4\pi\sqrt{3}.
Multiplicando pela divergência:
\sqrt{3}\cdot 4\pi\sqrt{3}=4\pi(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3})=4\pi\cdot 3=12\pi.

Passo 7

Conclusão e checagem final: o resultado da integral de superfície é \,12\pi.

Resposta

12\pi

Exercícios relacionados