Use o Teorema de Gauss para calcular
onde
é a esfera
3.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
onde
é a esfera
.
Informações dadas e observações úteis:
Informações dadas e observações úteis:
- A superfície
é a esfera centrada na origem com raio . - O que se quer calcular é uma integral de superfície sobre uma superfície fechada (a esfera).
Passo 2
Idéia para resolver (explicação didática do conceito que será usado).
O Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência) diz que, para um campo vetorial suficientemente suave e uma região
limitada por uma superfície fechada orientada para fora
,
O Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência) diz que, para um campo vetorial
onde
é o vetor normal unitário exterior e
é a divergência de
.
Aqui a integral dada é uma integral escalar com
. Para aplicar Gauss queremos transformá-la em uma integral de fluxo
. Assim, procuramos um campo
tal que
Aqui a integral dada é uma integral escalar
Se encontrarmos
com essa propriedade, então podemos usar o Teorema de Gauss para trocar a integral de superfície por uma integral de volume da divergência de
.
Passo 3
Expressão do vetor normal unitário na esfera.
Para a esfera centrada na origem de raio , o vetor normal unitário exterior em um ponto
da superfície é
Para a esfera centrada na origem de raio
Logo, para um campo
,
Passo 4
Escolha de
de forma simples que satisfaça
na superfície.
Queremos
Queremos
Uma escolha simples e direta que satisfaz essa identidade é tomar
,
e
. Assim definimos
Verificação rápida na esfera:\
ou seja, funciona exatamente.
Passo 5
Calcular a divergência de
.
A divergência é
A divergência é
As duas primeiras derivadas são zero porque
é constante; a terceira é
. Portanto
É uma função constante no volume interior à esfera.
Passo 6
Aplicar o Teorema de Gauss e calcular a integral de volume.
Pelo Teorema de Gauss,
Pelo Teorema de Gauss,
onde
é a bola de raio
. Como
constante,
O volume da bola de raio
é
Multiplicando pela divergência:
Passo 7
Conclusão e checagem final: o resultado da integral de superfície é
.