Use o Teorema de Stokes para calcular \int_{C} F d r. Em cada caso C é orientada no sentido anti horário quando vista de cima.
F(x, y, z)=y z \vec{i}+2 x z \vec{j}+e^{x z} \vec{k}, C é a circunferência x^{2}+y^{2}=16, z=5;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{C} F \cdot d\mathbf{r}
onde
F(x,y,z) = yz\,\mathbf{i} + 2xz\,\mathbf{j} + e^{xz}\,\mathbf{k}
e C é a circunferência x^2 + y^2 = 16 no plano z = 5, orientada no sentido anti-horário vista de cima.
O conteúdo é o Teorema de Stokes, que diz que
\oint_{C} F \cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla \times F) \cdot \mathbf{n} \, dS,
onde S é uma superfície com fronteira C.

Passo 2

Escolhemos S como o disco x^2 + y^2 \le 16 em z = 5. A orientação de C (anti-horário visto de cima) corresponde à normal unitária
\mathbf{n} = (0,0,1)
apontando para cima.

Passo 3

Calculamos o rotacional
\nabla\times F =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ yz & 2xz & e^{xz} \end{vmatrix}
Isto dá
\nabla\times F =\bigl(\partial_y e^{xz}-\partial_z(2xz),\;\partial_z(yz)-\partial_x e^{xz},\;\partial_x(2xz)-\partial_y(yz)\bigr)
=(-2x,\;y - z\,e^{xz},\;z).

Passo 4

No plano z=5 temos
(\nabla\times F)\cdot\mathbf n = (-2x,\;y - z\,e^{xz},\;z)\cdot(0,0,1) = z = 5.

Passo 5

Como o integrando é constante,
\iint_{S}5\,dS =5\;\bigl(\text{área do disco de raio }4\bigr) =5\cdot\pi\cdot4^2 =80\pi.á

Resposta

\oint_{C}F\cdot d\mathbf r = 80\pi.

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