Questão 15. Um fluido com densidade 1200 flui com velocidade \vec{v}(x, y, z)=y \vec{i}+x \vec{j}+z \vec{k}. Determine a taxa de vazão (fluxo) do fluido através:
da calha z=x^{2}, 1 \leq y \leq 4,0 \leq z \leq 4.

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidades do fluido
\vec{v}(x,y,z)=y\,\vec{i}+x\,\vec{j}+z\,\vec{k}
e pede a taxa de vazão (fluxo de massa) através da calha dada pela superfície
S:\;z=x^{2},
com 1\le y\le4 e 0\le z\le4.
Como densidade do fluido é \rho=1200, vamos calcular
\text{Fluxo}=\rho\iint_{S}\vec{v}\cdot\mathbf{n}\,dS
onde \mathbf{n}\,dS vem da parametrização de S.

Passo 2

Parametrizamos S por
\mathbf{r}(x,y) = \bigl(x,\;y,\;x^{2}\bigr),
onde x varia de -2 a 2 (pois 0\le x^{2}\le4) e y varia de 1 a 4.
O domínio de integração em parâmetros é
D=\{(x,y)\mid -2\le x\le2,\;1\le y\le4\}.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes e o vetor normal não-normalizado:
\mathbf{r}_{x}=(1,0,2x), \quad \mathbf{r}_{y}=(0,1,0),
\mathbf{r}_{x}\times\mathbf{r}_{y} =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\\ 1&0&2x\\\\ 0&1&0 \end{vmatrix} =(-2x)\,\vec{i}+0\,\vec{j}+1\,\vec{k} =(-2x,\,0,\,1).
Então \mathbf{n}\,dS=(\mathbf{r}_{x}\times\mathbf{r}_{y})\,dx\,dy.

Passo 4

No ponto \mathbf{r}(x,y) temos z=x^{2}, logo
\vec{v}\bigl(\mathbf{r}(x,y)\bigr) =(y,\;x,\;x^{2}).
O produto escalar é
\vec{v}\cdot(\mathbf{r}_{x}\times\mathbf{r}_{y}) =(y,x,x^{2})\cdot(-2x,0,1) =-2xy + x^{2}.

Passo 5

O fluxo de volume (sem a densidade) é
\iint_{S}\vec{v}\cdot\mathbf{n}\,dS =\int_{x=-2}^{2}\int_{y=1}^{4}\bigl(x^{2}-2xy\bigr)\,dy\,dx.
Primeiro integramos em y:
\int_{y=1}^{4}(x^{2}-2xy)\,dy =x^{2}(4-1)-2x\int_{1}^{4}y\,dy =3x^{2}-2x\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{4} =3x^{2}-2x\cdot\frac{16-1}{2} =3x^{2}-15x.
Agora em x:
\int_{-2}^{2}(3x^{2}-15x)\,dx =3\int_{-2}^{2}x^{2}dx-15\int_{-2}^{2}x\,dx =3\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-2}^{2}-15\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{-2}^{2} =(2^{3}-(-2)^{3})-15\cdot0 =8-(-8)=16.

Passo 6

Multiplicando pela densidade \rho=1200, a taxa de fluxo de massa é
\boxed{1200\times16=19200.}

Resposta

A vazão de massa através da calha é 19200 (unidades de massa por tempo).

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