Use o Teorema de Stokes para calcular \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \vec{F}(x, y, z)=(z, x, y) e C é a curva de interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano z=y, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede o valor de \displaystyle \oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}, onde estão dadas as informações seguintes:
  • \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=(z,x,y).
  • C é a curva de interseção do cilindro \displaystyle x^{2}+y^{2}=1 com o plano \displaystyle z=y.
  • A orientação de C é anti-horária quando vista de cima (isto é, quando vista do lado positivo do eixo z).
Essas são todas as informações fornecidas pelo enunciado e a pergunta é calcular a integral de linha fechada indicada.

Passo 2

Vou aplicar o Teorema de Stokes. Vou explicar o teorema e como usá-lo: o Teorema de Stokes relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo da fronteira \partial S de uma superfície S com a integral de superfície do rotor (curl) desse campo sobre S. A fórmula é
\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot \vec{n}\,dS,
onde \vec{n} é o vetor normal à superfície com orientação escolhida de forma consistente com a orientação de \partial S (regra da mão direita). Aqui podemos escolher S como a parte do plano \,z=y que está dentro do cilindro \,x^{2}+y^{2}\le 1, pois a fronteira dessa superfície é exatamente a curva C. Como a orientação de C é anti-horária vista de cima, devemos escolher \vec{n} com componente z positiva (isto é, voltada para cima) para que a orientação de \partial S coincida com a dada.

Passo 3

Calcular o rotor de \vec{F}. Por definição,
\nabla\times\vec{F}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\[4pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\[4pt] z & x & y \end{vmatrix}.
Vamos calcular cada componente passo a passo:
  • Componente x: \displaystyle (\nabla\times\vec{F})_{x}=\frac{\partial}{\partial y}(y)-\frac{\partial}{\partial z}(x)=1-0=1.
  • Componente y: \displaystyle (\nabla\times\vec{F})_{y}=\frac{\partial}{\partial z}(z)-\frac{\partial}{\partial x}(y)=1-0=1.
  • Componente z: \displaystyle (\nabla\times\vec{F})_{z}=\frac{\partial}{\partial x}(x)-\frac{\partial}{\partial y}(z)=1-0=1.
Portanto,
\nabla\times\vec{F}=(1,1,1).]

Passo 4

Escolher e descrever a superfície S conveniente e seu elemento de área vetorial. Tomamos S como o disco planar definido por \displaystyle z=g(x,y)=y sobre a região D do plano xy com \displaystyle x^{2}+y^{2}\le 1. Para uma superfície dada por z=g(x,y), o vetor de área orientado com componente positiva em z é
\vec{n}\,dS =(-g_x,-g_y,1)\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy e g_x,g_y são as derivadas parciais. Aqui g(x,y)=y, então g_x=0 e g_y=1. Assim
\vec{n}\,dS=(0,-1,1)\,dA.
Note que a terceira componente é positiva (igual a 1), logo esse \vec{n} aponta em direção com componente z positiva, consistente com a orientação anti-horária de C vista de cima.

Passo 5

Calcular o integrando da integral de superfície: o produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{n}\,dS). Usando \nabla\times\vec{F}=(1,1,1) e \vec{n}\,dS=(0,-1,1)\,dA,
(\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{n}\,dS)=(1,1,1)\cdot(0,-1,1)\,dA = (0-1+1)\,dA = 0\cdot dA.
Portanto o integrando é identicamente zero em toda a região D.

Passo 6

Avaliar a integral de superfície. Como o integrando é zero em todo D, a integral sobre S vale zero:
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot \vec{n}\,dS=\iint_{D} 0\,dA = 0.
Pelo Teorema de Stokes, isso implica que a integral de linha pedida é zero.

Resposta

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