Mostre que, para uma superfície dada por z=f(x, y), o elemento de área é d S= \sqrt{1+\left(f_{x}\right)^{2}+\left(f_{y}\right)^{2}} d x d y. Aplique essa fórmula para calcular a área da porção do plano z=2 x+3 y acima do quadrado 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1.

Bloco 4: Teorema de Stokes

Passo 1

O problema pede duas coisas claras:
  1. Mostrar (demonstrar) que, para uma superfície dada por z=f(x,y), o elemento de área é
dS=\sqrt{1+\left(f_x\right)^2+\left(f_y\right)^2}\,dx\,dy.
  1. Aplicar essa fórmula para calcular a área da porção do plano z=2x+3y que está acima do quadrado do plano xy definido por 0\le x\le1,\;0\le y\le1.
Informações dadas:
  • A superfície é a gráfica de uma função f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, ou seja pontos (x,y,f(x,y)).
  • No caso concreto, f(x,y)=2x+3y.
  • O domínio (projeção no plano xy) para a aplicação é o quadrado 0\le x\le1,\;0\le y\le1.

Passo 2

Parametrização e interpretação dos diferenciais: vamos parametrizar a superfície pela própria projeção (x,y). Define-se o vetor posição
\mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\;y,\;f(x,y)\bigr).
Isso significa que cada ponto do domínio (x,y) corresponde ao ponto da superfície \mathbf{r}(x,y). Agora pense assim: um pequeno retângulo no domínio de lados dx e dy é enviado pela parametrização para uma pequena região na superfície — aproximadamente um paralelogramo. A área desse paralelogramo dá o elemento de área dS.
Para obter os vetores que geram esse paralelogramo usamos as derivadas parciais da parametrização:
\mathbf{r}_x(x,y)=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial x},\qquad \mathbf{r}_y(x,y)=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial y}.
Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f, que representam as inclinações da superfície nas direções x e y respectivamente (ou seja, quanto z varia quando eu mudo só x ou só y).

Passo 3

Calculemos explicitamente os vetores tangentes \mathbf{r}_x e \mathbf{r}_y. Diferenciando componente a componente:
\mathbf{r}_x(x,y)=\bigl(1,\;0,\;f_x(x,y)\bigr), \qquad \mathbf{r}_y(x,y)=\bigl(0,\;1,\;f_y(x,y)\bigr).
Interpretação geométrica rápida: \mathbf{r}_x é o vetor tangente obtido ao mover-se um pouco na direção x (mantendo y fixo); \mathbf{r}_y é análogo na direção y.
A área do paralelogramo gerado por \mathbf{r}_x e \mathbf{r}_y é o módulo do produto vetorial \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y. Então vamos calcular o produto vetorial. Usando a fórmula do determinante,
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & f_x \\\\ 0 & 1 & f_y \end{vmatrix} = \bigl(-f_x,\;-f_y,\;1\bigr).

Passo 4

Agora o módulo do produto vetorial (que é a área do paralelogramo) é
\bigl\lVert \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr\rVert = \sqrt{(-f_x)^2+(-f_y)^2+1^2} = \sqrt{1+\left(f_x\right)^2+\left(f_y\right)^2}.
Logo o elemento de área (a área infinitesimal da superfície correspondente a um elemento dx\,dy no domínio) é
dS=\bigl\lVert \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr\rVert\,dx\,dy = \sqrt{1+\left(f_x\right)^2+\left(f_y\right)^2}\,dx\,dy.
Explicando em palavras: cada pequeno retângulo dx\,dy no plano xy é levado a um paralelogramo na superfície cuja área é inflacionada pelo fator \sqrt{1+f_x^2+f_y^2} por causa da inclinação da superfície.

Passo 5

Aplicação ao plano z=2x+3y. Aqui f(x,y)=2x+3y. Calcule as derivadas parciais:
f_x(x,y)=2,\qquad f_y(x,y)=3,
que são constantes (surpresa: plano tem inclinação constante).
Substituindo na fórmula do elemento de área:
dS=\sqrt{1+\left(2\right)^2+\left(3\right)^2}\,dx\,dy =\sqrt{1+4+9}\,dx\,dy =\sqrt{14}\,dx\,dy.
Agora a área da porção da superfície acima do quadrado 0\le x\le1,\;0\le y\le1 é a integral dupla da função que multiplica dx\,dy:
\text{Área}=\iint_{[0,1]\times[0,1]} dS =\iint_{[0,1]\times[0,1]} \sqrt{14}\,dx\,dy.Á

Passo 6

Calcule a integral; como \sqrt{14} é constante, a integral separa facilmente:
\text{Área}=\sqrt{14}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} dx\,dy =\sqrt{14}\cdot \bigl(1\bigr)\cdot\bigl(1\bigr) =\sqrt{14}.Á

Resposta

\sqrt{14}

Exercícios relacionados