Mostre que, para uma superfície dada por z=f(x, y), o elemento de área é d S= \sqrt{1+\left(f_{x}\right)^{2}+\left(f_{y}\right)^{2}} d x d y. Aplique essa fórmula para calcular a área da porção do plano z=2 x+3 y acima do quadrado 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1.
Bloco 4: Teorema de Stokes
Passo 1
O problema pede duas coisas claras:
Mostrar (demonstrar) que, para uma superfície dada por z=f(x,y), o elemento de área é
Aplicar essa fórmula para calcular a área da porção do plano z=2x+3y que está acima do quadrado do plano xy definido por 0\le x\le1,\;0\le y\le1.
Informações dadas:
A superfície é a gráfica de uma função f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, ou seja pontos (x,y,f(x,y)).
No caso concreto, f(x,y)=2x+3y.
O domínio (projeção no plano xy) para a aplicação é o quadrado 0\le x\le1,\;0\le y\le1.
Passo 2
Parametrização e interpretação dos diferenciais: vamos parametrizar a superfície pela própria projeção (x,y). Define-se o vetor posição
\mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\;y,\;f(x,y)\bigr).
Isso significa que cada ponto do domínio (x,y) corresponde ao ponto da superfície \mathbf{r}(x,y). Agora pense assim: um pequeno retângulo no domínio de lados dx e dy é enviado pela parametrização para uma pequena região na superfície — aproximadamente um paralelogramo. A área desse paralelogramo dá o elemento de área dS.
Para obter os vetores que geram esse paralelogramo usamos as derivadas parciais da parametrização:
Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f, que representam as inclinações da superfície nas direções x e y respectivamente (ou seja, quanto z varia quando eu mudo só x ou só y).
Passo 3
Calculemos explicitamente os vetores tangentes \mathbf{r}_x e \mathbf{r}_y. Diferenciando componente a componente:
Interpretação geométrica rápida: \mathbf{r}_x é o vetor tangente obtido ao mover-se um pouco na direção x (mantendo y fixo); \mathbf{r}_y é análogo na direção y.
A área do paralelogramo gerado por \mathbf{r}_x e \mathbf{r}_y é o módulo do produto vetorial \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y. Então vamos calcular o produto vetorial. Usando a fórmula do determinante,
Explicando em palavras: cada pequeno retângulo dx\,dy no plano xy é levado a um paralelogramo na superfície cuja área é inflacionada pelo fator \sqrt{1+f_x^2+f_y^2} por causa da inclinação da superfície.
Passo 5
Aplicação ao plano z=2x+3y. Aqui f(x,y)=2x+3y. Calcule as derivadas parciais:
f_x(x,y)=2,\qquad f_y(x,y)=3,
que são constantes (surpresa: plano tem inclinação constante).