Encontre a área da porção da esfera
que está acima do plano
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Informação: a esfera é dada por
. - Informação: o plano é
. - Pedido: encontrar a área da porção da esfera que está acima (isto é, com
) do plano .
Passo 2
Escolha do método (explicação curta e motivo): vou usar coordenadas esféricas para parametrizar a superfície da esfera e integrar o elemento de área. Isso é natural porque a esfera tem simetria esférica e o elemento de área fica muito simples em coordenadas esféricas. Depois mostro também a fórmula curta da “tampa esférica” como verificação.
Passo 3
Parametrização em coordenadas esféricas e definição das variáveis:
- O raio da esfera é
(pois ). - Nas coordenadas esféricas usamos os ângulos
(colatitude, medido a partir do eixo ) e (azimute, em torno do eixo ). A parametrização da esfera de raio é
Aqui
e
cobrem a esfera inteira.
Passo 4
Elemento de área da esfera (motivo e cálculo):
O elemento de área na superfície parametrizada por é dado por a magnitude do produto vetorial
. Vamos calcular rapidamente as derivadas parciais:
O elemento de área na superfície parametrizada por
O produto vetorial tem magnitude simples e conhecida (pode-se calcular termo a termo), resultando em
Portanto o elemento de área é
.
Passo 5
Determinar os limites em
correspondentes à parte da esfera acima do plano
:
Na parametrização, . A região que queremos satisfaz
, logo
Na parametrização,
Com
isso dá
. Assim o limite superior para
(colatitude) é
tal que
Para a tampa acima do plano temos
variando de
(topo
) até
. O ângulo
percorre todo
.
Passo 6
Montar e calcular a integral da área usando o elemento de área:
A área procurada é
A área procurada é
Primeiro integramos em
:
Substituindo na integral completa:
Passo 7
Substituir os valores numéricos:
Sabemos e, pela condição do plano,
. Logo
Sabemos
Fazendo a multiplicação:
Passo 8
Verificação alternativa (fórmula da tampa esférica e interpretação geométrica):
Existe uma fórmula rápida para a área de uma tampa esférica: , onde
é a altura da tampa (distância do plano que corta até o topo da esfera). Aqui o topo da esfera tem
e o plano está em
, então
Existe uma fórmula rápida para a área de uma tampa esférica:
Aplicando a fórmula:
, que coincide com o resultado obtido pela integral. A relação entre as fórmulas está em que
, então
.