Encontre a área da porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 que está acima do plano z=1.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Informação: a esfera é dada por \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\;.
  • Informação: o plano é \;z=1\;.
  • Pedido: encontrar a área da porção da esfera que está acima (isto é, com z\ge 1) do plano \;z=1\;.

Passo 2

Escolha do método (explicação curta e motivo): vou usar coordenadas esféricas para parametrizar a superfície da esfera e integrar o elemento de área. Isso é natural porque a esfera tem simetria esférica e o elemento de área fica muito simples em coordenadas esféricas. Depois mostro também a fórmula curta da “tampa esférica” como verificação.

Passo 3

Parametrização em coordenadas esféricas e definição das variáveis:
  • O raio da esfera é \;R=3\; (pois x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\Rightarrow R=\sqrt{9}=3).
  • Nas coordenadas esféricas usamos os ângulos \varphi (colatitude, medido a partir do eixo z) e \theta (azimute, em torno do eixo z). A parametrização da esfera de raio R é
\mathbf{r}(\varphi,\theta)=\big(R\sin\varphi\cos\theta,\;R\sin\varphi\sin\theta,\;R\cos\varphi\big).
Aqui \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi) cobrem a esfera inteira.

Passo 4

Elemento de área da esfera (motivo e cálculo):
O elemento de área na superfície parametrizada por \mathbf{r}(\varphi,\theta) é dado por a magnitude do produto vetorial \left\|\partial_{\varphi}\mathbf{r}\times\partial_{\theta}\mathbf{r}\right\|\,d\varphi\,d\theta. Vamos calcular rapidamente as derivadas parciais:
\partial_{\varphi}\mathbf{r}=(R\cos\varphi\cos\theta,\;R\cos\varphi\sin\theta,\;-R\sin\varphi),
\partial_{\theta}\mathbf{r}=(-R\sin\varphi\sin\theta,\;R\sin\varphi\cos\theta,\;0).
O produto vetorial tem magnitude simples e conhecida (pode-se calcular termo a termo), resultando em
\left\|\partial_{\varphi}\mathbf{r}\times\partial_{\theta}\mathbf{r}\right\|=R^{2}\sin\varphi.
Portanto o elemento de área é \;dS=R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta\;.

Passo 5

Determinar os limites em \varphi correspondentes à parte da esfera acima do plano \;z=1\;:
Na parametrização, z=R\cos\varphi. A região que queremos satisfaz z\ge 1, logo
R\cos\varphi \ge 1 \quad\Rightarrow\quad \cos\varphi \ge \frac{1}{R}.
Com R=3 isso dá \cos\varphi \ge \tfrac{1}{3}. Assim o limite superior para \varphi (colatitude) é \phi_{0} tal que
\cos\phi_{0}=\frac{1}{3}\quad\text{(isto é, }\phi_{0}=\operatorname{arccos}\!\tfrac{1}{3}\text{)}.é
Para a tampa acima do plano temos \varphi variando de 0 (topo z=R) até \phi_{0}. O ângulo \theta percorre todo [0,2\pi].

Passo 6

Montar e calcular a integral da área usando o elemento de área:
A área procurada é
A=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\phi_{0}} R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Primeiro integramos em \varphi:
\int_{0}^{\phi_{0}}\sin\varphi\,d\varphi = \big[-\cos\varphi\big]_{0}^{\phi_{0}} = 1-\cos\phi_{0}.
Substituindo na integral completa:
A = \int_{0}^{2\pi} R^{2}\big(1-\cos\phi_{0}\big)\,d\theta = 2\pi R^{2}\big(1-\cos\phi_{0}\big).

Passo 7

Substituir os valores numéricos:
Sabemos R=3 e, pela condição do plano, \cos\phi_{0}=\tfrac{1}{3}. Logo
A = 2\pi\cdot 3^{2}\left(1-\tfrac{1}{3}\right) = 2\pi\cdot 9\cdot \tfrac{2}{3}.
Fazendo a multiplicação:
A = 2\pi\cdot 9\cdot \tfrac{2}{3} = 2\pi\cdot 3\cdot 2 = 12\pi.

Passo 8

Verificação alternativa (fórmula da tampa esférica e interpretação geométrica):
Existe uma fórmula rápida para a área de uma tampa esférica: \;A=2\pi R h\;, onde h é a altura da tampa (distância do plano que corta até o topo da esfera). Aqui o topo da esfera tem z=R=3 e o plano está em z=1, então
h=3-1=2.
Aplicando a fórmula: A=2\pi\cdot 3\cdot 2=12\pi, que coincide com o resultado obtido pela integral. A relação entre as fórmulas está em que h=R(1-\cos\phi_{0}), então 2\pi R^{2}(1-\cos\phi_{0})=2\pi R h.

Resposta

\;12\pi\;

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