Calcule a transformada de Laplace inversa:
F(s)=\frac{4}{(s-1)^{3}}\

Passo 1

O enunciado dá a função no domínio de s:
F(s)=\frac{4}{(s-1)^{3}}
e pede a transformada de Laplace inversa, isto é, encontrar a função f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s).
Informações relevantes: o pólo está em s=1 e a potência é 3. Vou transformar isso em uma função de t usando propriedades padrão da transformada de Laplace.

Passo 2

Lembrando uma fórmula padrão muito útil (e que vou usar): para inteiro n\ge0,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}.
O que isso significa: a transformada de Laplace da função t^{n} (onde t é a variável do tempo, t\ge0) é \dfrac{n!}{s^{n+1}} (onde s é a variável complexa da transformada). Exemplo concreto para n=2: podemos calcular diretamente
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-s t}\,dt.
Fazendo integração por partes duas vezes (ou usando a função \Gamma), obtém-se
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2}{s^{3}}.
Ou seja, para n=2 temos 2!=2 e a fórmula dá \dfrac{2}{s^{3}}.

Passo 3

Outra propriedade-chave: a propriedade de deslocamento em s (teorema do deslocamento):
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s-a),
ou em forma inversa
\mathcal{L}^{-1}\{F(s-a)\}(t)=e^{a t}f(t).
Interpretação: deslocar s por a equivale a multiplicar a função no tempo por e^{a t}.

Passo 4

Agora aplicar as fórmulas ao nosso F(s). Observe primeiro a parcela sem o fator 4:
\frac{1}{(s-1)^{3}}.
Compare com a forma padrão \dfrac{n!}{s^{n+1}}. Para n=2 temos \dfrac{2}{s^{3}}. Então, sem o deslocamento, a transformada \dfrac{1}{s^{3}} corresponderia a \dfrac{1}{2}t^{2}, porque
\mathcal{L}\left\{\frac{1}{2}t^{2}\right\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{s^{3}}=\frac{1}{s^{3}}.
Agora aplicando o teorema do deslocamento com a=1: trocar s por s-1 corresponde a multiplicar por e^{t} no domínio do tempo. Assim
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-1)^{3}}\right\}(t)=e^{t}\cdot\frac{1}{2}t^{2}=\frac{1}{2}t^{2}e^{t}.

Passo 5

Voltando ao F(s) completo, havia um fator 4 multiplicando:
F(s)=4\cdot\frac{1}{(s-1)^{3}}.
A transformada inversa é linear, então multiplicar por 4 no domínio de s multiplica por 4 no domínio do tempo. Assim
f(t)=4\cdot\left(\frac{1}{2}t^{2}e^{t}\right)=2\,t^{2}e^{t}.

Passo 6

(Resumo rápido do raciocínio): usei a tabela padrão \mathcal{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}} para identificar que \dfrac{1}{(s-1)^{3}} é a transformada de \dfrac{1}{2}t^{2}e^{t}, e então multipliquei por 4 para obter 2t^{2}e^{t}.

Resposta

2t^{2}e^{t}

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