Calcule a transformada de Laplace inversa:
Passo 1
O enunciado dá a função no domínio de
:
e pede a transformada de Laplace inversa, isto é, encontrar a função
tal que
Informações relevantes: o pólo está em
e a potência é
. Vou transformar isso em uma função de
usando propriedades padrão da transformada de Laplace.
Passo 2
Lembrando uma fórmula padrão muito útil (e que vou usar): para inteiro
,
O que isso significa: a transformada de Laplace da função
(onde
é a variável do tempo,
) é
(onde
é a variável complexa da transformada). Exemplo concreto para
: podemos calcular diretamente
Fazendo integração por partes duas vezes (ou usando a função
), obtém-se
Ou seja, para
temos
e a fórmula dá
.
Passo 3
Outra propriedade-chave: a propriedade de deslocamento em
(teorema do deslocamento):
ou em forma inversa
Interpretação: deslocar
por
equivale a multiplicar a função no tempo por
.
Passo 4
Agora aplicar as fórmulas ao nosso
. Observe primeiro a parcela sem o fator
:
Compare com a forma padrão
. Para
temos
. Então, sem o deslocamento, a transformada
corresponderia a
, porque
Agora aplicando o teorema do deslocamento com
: trocar
por
corresponde a multiplicar por
no domínio do tempo. Assim
Passo 5
Voltando ao
completo, havia um fator
multiplicando:
A transformada inversa é linear, então multiplicar por
no domínio de
multiplica por
no domínio do tempo. Assim
Passo 6
(Resumo rápido do raciocínio): usei a tabela padrão
para identificar que
é a transformada de
, e então multipliquei por
para obter
.