Questão 3 ( 2,5 pontos) Resolva o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para
em um intervalo contendo
e que verifica a condição inicial
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação envolve
, que é a derivada de em relação a . - O coeficiente junto de
é (observe que isto exige cuidado em ). - A condição inicial é dada em
.
Passo 2
Identificação do tipo de equação e escolha do método (explicando de forma didática).
A equação tem a forma linear de primeira ordem depois de dividirmos por (quando
). A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
A equação tem a forma linear de primeira ordem depois de dividirmos por
onde
e
são funções conhecidas de
. Para essas equações usamos o método do fator integrante (integrating factor), que é rápido e robusto — é o método padrão em provas.
Aqui, ao dividir por
(válido para
), obtemos
Portanto
e
.
Explicando o fator integrante de forma intuitiva: procuramos uma função
tal que, multiplicando a equação inteira por
, o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Ou seja, queremos
Igualando com
vemos que devemos ter
. Isso leva à definição
Vou aplicar isso no próximo passo.
Passo 3
Cálculo do fator integrante
.
Aqui . Então
Aqui
Como a condição inicial está em
(positivo), trabalhamos no intervalo onde
. Assim podemos simplificar
e escolher
Passo 4
Multiplicando a equação original pelo fator integrante.
Multiplicando a forma padrão por obtemos
Multiplicando a forma padrão por
No lado esquerdo isso é exatamente a derivada do produto:
Explicação curta: desenvolvendo
, que coincide com o lado esquerdo original multiplicado por
.
Passo 5
Integração para achar
.
Agora integramos ambos os lados em relação a :
Agora integramos ambos os lados em relação a
A integral do lado esquerdo é simplesmente
(mais uma constante), e a integral do lado direito é
. Portanto
onde
é uma constante arbitrária de integração.
Passo 6
Expressar
em termos de
e aplicar a condição inicial.
Isolando obtemos
Isolando
Agora usamos a condição inicial
. Substituindo
:
Logo
Passo 7
Escrever a solução particular e comentar domínio.
Substituindo na expressão geral, a solução que satisfaz a condição inicial é
Substituindo
Observação sobre o domínio: escolhemos
porque o fator integrante foi
e a condição inicial está em
. A solução não está definida em
, então o intervalo de validade é um intervalo aberto contendo
, por exemplo
.
Pequena verificação mental (dica de prova): derivando
e substituindo na equação original deve recuperar
; isso confirma que a solução está correta.