Questão 3 ( 2,5 pontos) Resolva o problema de valor inicial dado.
x y^{\prime}+y=e^{x}, \quad y(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
x\,y'(x)+y(x)=e^{x},\qquad y(1)=2.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para x em um intervalo contendo x=1 e que verifica a condição inicial y(1)=2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação envolve y', que é a derivada de y em relação a x.
  • O coeficiente junto de y' é x (observe que isto exige cuidado em x=0).
  • A condição inicial é dada em x=1.

Passo 2

Identificação do tipo de equação e escolha do método (explicando de forma didática).
A equação tem a forma linear de primeira ordem depois de dividirmos por x (quando x\neq0). A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
y'(x)+P(x)\,y(x)=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x. Para essas equações usamos o método do fator integrante (integrating factor), que é rápido e robusto — é o método padrão em provas.
Aqui, ao dividir por x (válido para x\neq0), obtemos
y'(x)+\frac{1}{x}\,y(x)=\frac{e^{x}}{x}.
Portanto P(x)=\dfrac{1}{x} e Q(x)=\dfrac{e^{x}}{x}.
Explicando o fator integrante de forma intuitiva: procuramos uma função \mu(x) tal que, multiplicando a equação inteira por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)\,y(x). Ou seja, queremos
\big(\mu(x)\,y(x)\big)'=\mu(x)\,y'(x)+\mu'(x)\,y(x).
Igualando com \mu(x)\big(y'(x)+P(x)y(x)\big) vemos que devemos ter \mu'(x)=\mu(x)P(x). Isso leva à definição
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Vou aplicar isso no próximo passo.

Passo 3

Cálculo do fator integrante \mu(x).
Aqui P(x)=\dfrac{1}{x}. Então
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right)=\exp\!\big(\ln|x|\big)=|x|.
Como a condição inicial está em x=1 (positivo), trabalhamos no intervalo onde x>0. Assim podemos simplificar |x|=x e escolher
\mu(x)=x\qquad\text{(para \(x>0\)).}

Passo 4

Multiplicando a equação original pelo fator integrante.
Multiplicando a forma padrão por \mu(x)=x obtemos
x\left(y'(x)+\frac{1}{x}y(x)\right)=x\cdot\frac{e^{x}}{x}.
No lado esquerdo isso é exatamente a derivada do produto:
\big(x\,y(x)\big)'=e^{x}.
Explicação curta: desenvolvendo \big(xy\big)'=x y'+1\cdot y, que coincide com o lado esquerdo original multiplicado por x.

Passo 5

Integração para achar x\,y(x).
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(x\,y(x)\big)'\,dx=\int e^{x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente x\,y(x) (mais uma constante), e a integral do lado direito é e^{x}. Portanto
x\,y(x)=e^{x}+C,
onde C é uma constante arbitrária de integração.

Passo 6

Expressar y(x) em termos de C e aplicar a condição inicial.
Isolando y(x) obtemos
y(x)=\frac{e^{x}+C}{x},\qquad x>0.
Agora usamos a condição inicial y(1)=2. Substituindo x=1:
2=\frac{e^{1}+C}{1}=e+C.
Logo
C=2-e.

Passo 7

Escrever a solução particular e comentar domínio.
Substituindo C na expressão geral, a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{e^{x}+2-e}{x},\qquad x>0.
Observação sobre o domínio: escolhemos x>0 porque o fator integrante foi |x| e a condição inicial está em x=1. A solução não está definida em x=0, então o intervalo de validade é um intervalo aberto contendo 1, por exemplo (0,\infty).
Pequena verificação mental (dica de prova): derivando y(x) e substituindo na equação original deve recuperar x y'+y=e^{x}; isso confirma que a solução está correta.

Resposta

y(x)=\frac{e^{x}+2-e}{x},\qquad x>0

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