é a seção da esfera
produzida pelo plano
no sentido positivo em relação ao versor
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral de linha fechada [\displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}), onde a curva
é a interseção da esfera
com o plano
. A orientação de
é a "no sentido positivo em relação ao versor
", ou seja, a orientação que, vista de cima (direção positiva de
), é a orientação positiva (contra-horária).
Informações dadas no enunciado:
- O campo vetor é
- A curva
é a seção (círculo) determinada por - Orientação de
(vetor unitário no eixo
).]
Passo 2
Escolha da estratégia (explicação didática): é muito conveniente usar o Teorema de Stokes, porque temos uma integral de linha ao redor de uma curva fechada que é bordo de uma superfície plana (o disco produzido pela interseção do plano com a esfera). O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada
com bordo
,
onde
é o rotacional de
,
é o versor normal unitário à superfície com orientação compatível com a orientação de
, e
é o elemento de área da superfície. Vamos usar essa fórmula porque transforma uma integral de linha em uma integral de superfície mais simples, frequentemente constante sobre a superfície escolhida.
Passo 3
Calcular o rotacional
. Lembre que, para
,
Aqui
,
,
. Calculemos cada componente:
- Componente
: - Componente
: - Componente
:
Portanto,
Passo 4
Escolher a superfície
cujo bordo é
. A escolha natural é o disco planar
dentro do plano
limitado pelo círculo
. Precisamos do versor normal unitário
à superfície com sinal compatível com a orientação pedida. O vetor normal (não unitário) ao plano é
. O versor unitário correspondente é
Esse versor tem componente
positiva (
), portanto é o normal cuja orientação faz com que, visto de cima (direção
), o bordo
seja positivo (contra-horário). Logo
escolhido está de acordo com a orientação dada.
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Usando
e
,
Na superfície
(no plano) temos
. Substituindo,
que é constante sobre toda a superfície
. Isso é ótimo: a integral dupla reduz-se a constante vezes a área de
.
Passo 6
Calcular a área do disco
. O círculo
é interseção de uma esfera de raio
com o plano a uma distância
do centro. A distância do centro (origem) ao plano
é
O raio
do círculo de interseção satisfaz
. Assim
Portanto a área do disco é
Passo 7
Agora aplicamos o Teorema de Stokes:
Como
é constante sobre
, obtemos
Multiplicando,