\vec{F}(x, y, z)=z^{2} \vec{i}+x^{2} \vec{j}+y^{2} \vec{k} ; C é a seção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2} produzida pelo plano x+y+z=R no sentido positivo em relação ao versor \vec{k}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral de linha fechada [\displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}), onde a curva C é a interseção da esfera \displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2} com o plano \displaystyle x+y+z=R. A orientação de C é a "no sentido positivo em relação ao versor \vec{k}", ou seja, a orientação que, vista de cima (direção positiva de \vec{k}), é a orientação positiva (contra-horária).
Informações dadas no enunciado:
  • O campo vetor é \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=z^{2}\,\vec{i}+x^{2}\,\vec{j}+y^{2}\,\vec{k}.
  • A curva C é a seção (círculo) determinada por \begin{cases} x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},\\[4pt] x+y+z=R. \end{cases}
  • Orientação de C\]: positiva em relação a \(\vec{k} (vetor unitário no eixo z).]

Passo 2

Escolha da estratégia (explicação didática): é muito conveniente usar o Teorema de Stokes, porque temos uma integral de linha ao redor de uma curva fechada que é bordo de uma superfície plana (o disco produzido pela interseção do plano com a esfera). O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada S com bordo \partial S=C,
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS,
onde \nabla\times\vec{F} é o rotacional de \vec{F}, \vec{n} é o versor normal unitário à superfície com orientação compatível com a orientação de C, e dS é o elemento de área da superfície. Vamos usar essa fórmula porque transforma uma integral de linha em uma integral de superfície mais simples, frequentemente constante sobre a superfície escolhida.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Lembre que, para \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}),
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)\vec{k}.
Aqui F_{1}=z^{2}, F_{2}=x^{2}, F_{3}=y^{2}. Calculemos cada componente:
  • Componente \vec{i}: \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}=\frac{\partial y^{2}}{\partial y}-\frac{\partial x^{2}}{\partial z}=2y-0=2y.
  • Componente \vec{j}: \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}=\frac{\partial z^{2}}{\partial z}-\frac{\partial y^{2}}{\partial x}=2z-0=2z.
  • Componente \vec{k}: \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial x^{2}}{\partial x}-\frac{\partial z^{2}}{\partial y}=2x-0=2x.
Portanto,
\nabla\times\vec{F}=2y\,\vec{i}+2z\,\vec{j}+2x\,\vec{k}=2\,(y\,\vec{i}+z\,\vec{j}+x\,\vec{k}).

Passo 4

Escolher a superfície S cujo bordo é C. A escolha natural é o disco planar S dentro do plano \displaystyle x+y+z=R limitado pelo círculo C. Precisamos do versor normal unitário \vec{n} à superfície com sinal compatível com a orientação pedida. O vetor normal (não unitário) ao plano é (1,1,1). O versor unitário correspondente é
\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).
Esse versor tem componente z positiva ( 1/\sqrt{3}>0), portanto é o normal cuja orientação faz com que, visto de cima (direção \vec{k}), o bordo C seja positivo (contra-horário). Logo \vec{n} escolhido está de acordo com a orientação dada.

Passo 5

Calcular o produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}. Usando \nabla\times\vec{F}=2(y,z,x) e \vec{n}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1),
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=2\frac{1}{\sqrt{3}}(y+z+x)=\frac{2}{\sqrt{3}}(x+y+z).
Na superfície S (no plano) temos x+y+z=R. Substituindo,
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=\frac{2}{\sqrt{3}}R,
que é constante sobre toda a superfície S. Isso é ótimo: a integral dupla reduz-se a constante vezes a área de S.

Passo 6

Calcular a área do disco S. O círculo C é interseção de uma esfera de raio R com o plano a uma distância d do centro. A distância do centro (origem) ao plano \displaystyle x+y+z=R é
d=\frac{|R|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{R}{\sqrt{3}}.
O raio r do círculo de interseção satisfaz \displaystyle r^{2}=R^{2}-d^{2}. Assim
r^{2}=R^{2}-\left(\frac{R}{\sqrt{3}}\right)^{2}=R^{2}-\frac{R^{2}}{3}=\frac{2}{3}R^{2}.
Portanto a área do disco é
\text{Area}(S)=\pi r^{2}=\pi\cdot\frac{2}{3}R^{2}=\frac{2\pi}{3}R^{2}.

Passo 7

Agora aplicamos o Teorema de Stokes:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS
Como (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=\dfrac{2R}{\sqrt{3}} é constante sobre S, obtemos
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\frac{2R}{\sqrt{3}}\cdot \text{Area}(S)=\frac{2R}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2\pi}{3}R^{2}.
Multiplicando,
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\frac{4\pi}{3\sqrt{3}}R^{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{3\sqrt{3}}R^{3}

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