- Use o Teorema do Valor Médio para provar as seguintes desigualdades:
a)
para todos
.
b)
para todos
.
c)
para todos
.
d)
para todos
.
- Em cada item abaixo, estude o crescimento de uma função adequada para provar as desigualdades enunciadas.
a)
para todo
.
b)
para todo
.
c)
para todo
.
d)
para todos
e
.
- Encontre o valor mínimo da função
dada por
. Conclua que
para todos
.
- Dado
, seja
dada por
.
a) Determine
de modo que
seja um ponto de mínimo local de
.
b) Determine
de modo que
seja um ponto de mínimo local de
.
c) Mostre que
não tem ponto de máximo local para todo
.
- Dado
, seja
dada por
. Determine o menor valor de
para o qual tem-se
para todo
.
- Seja
uma função derivável.
a) Mostre que
é uma função par se, e somente se,
é uma função ímpar.
b) Mostre que
é uma função ímpar se, e somente se,
e
é uma função par. A hipótese
pode ser omitida?
c) Mostre que se
é periódica, então
também é periódica. A recíproca é verdadeira?
- Seja
uma função contínua em
e derivável em
. Suponha que
,
e
. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando.
a) A equação
tem ao menos uma solução no intervalo
.
b) A equação
tem uma única solução no intervalo
.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
a) Determine
b) Determine
c) Mostre que
a) Mostre que
b) Mostre que
c) Mostre que se
a) A equação
b) A equação
Passo 1
Resumindo o item 1, queremos usar o Teorema do Valor Médio (TVM) para quatro desigualdades envolvendo funções de classe
. Em cada caso definiremos uma função apropriada
, aplicaremos o TVM no intervalo
e estimaremos
para algum
, obtendo a desigualdade desejada.
Passo 2
(a) Defina
Temos
Pelo TVM existe
tal que
Como
implica
e
, segue
Passo 3
(b) Defina
Então
Em
vale
, logo
. Assim
é estritamente crescente e
Passo 4
(c) Defina
Calculamos
Para
temos
, logo
. Pelo TVM existe
tal que
Como
, obtém-se a parte esquerda
. E como
e
tem-se
logo
Passo 5
(d) Considere
Então
Pelo TVM existe
com
Em
a função
atinge máximo igual a
(no ponto
), logo
e daí
Resposta
As desigualdades (a), (b), (c) e (d) do item 1 estão provadas por aplicação do Teorema do Valor Médio às funções indicadas.