1. Use o Teorema do Valor Médio para provar as seguintes desigualdades:
    a) b^b-a^a>a^a(b-a) para todos 1 <= a<b.
    b) tan btan a>ba para todos 0<a<b<pi2.
    c) 0<ln bb-ln aa <= b-aa^2 para todos 1 <= a<b <= e.
    d) (ln b)^2-(ln a)^2 <= 2e(b-a) para todos 1 <= a<b.
  2. Em cada item abaixo, estude o crescimento de uma função adequada para provar as desigualdades enunciadas.
    a) 2 x arctan x>ln (1+x^2) para todo x neq 0.
    b) 1-1x <= ln x <= x-1 para todo x>0.
    c) e^a>a^e para todo a>0, a neq e.
    d) (1+x)^p >= 1+p x para todos p>1 e x>-1.
  3. Encontre o valor mínimo da função f:] 0,+infty[ R dada por f(x)=e^xx. Conclua que e^a+ba b >= e^2 para todos a, b>0.
  4. Dado a in R, seja fa: R backslash0 R dada por fa(x)=x^2+ax.
    a) Determine a de modo que x=2 seja um ponto de mínimo local de fa.
    b) Determine a de modo que x=-3 seja um ponto de mínimo local de fa.
    c) Mostre que fa não tem ponto de máximo local para todo a in R.
  5. Dado a>0, seja fa:] 0,+infty[ R dada por fa(x)=5 x^2+ax^5. Determine o menor valor de a para o qual tem-se fa(x) >= 28 para todo x>0.
  6. Seja f: R R uma função derivável.
    a) Mostre que f é uma função par se, e somente se, f^prime é uma função ímpar.
    b) Mostre que f é uma função ímpar se, e somente se, f(0)=0 e f^prime é uma função par. A hipótese f(0)=0 pode ser omitida?
    c) Mostre que se f é periódica, então f^prime também é periódica. A recíproca é verdadeira?
  7. Seja g:[-1,2] R uma função contínua em [-1,2] e derivável em ]-1,2[. Suponha que g(-1)=0, g(0)=4, g(1)=2 e g(2)=2. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando.
    a) A equação g(x)=3 tem ao menos uma solução no intervalo [-1,0].
    b) A equação g(x)=2 tem uma única solução no intervalo [-1,0].

Passo 1

Resumindo o item 1, queremos usar o Teorema do Valor Médio (TVM) para quatro desigualdades envolvendo funções de classe C^1. Em cada caso definiremos uma função apropriada f, aplicaremos o TVM no intervalo [a,b] e estimaremos f'(c) para algum cin(a,b), obtendo a desigualdade desejada.

Passo 2

(a) Defina
f(x)=x^x, x>=1
Temos
f'(x)=x^xl(ln x+1r)
Pelo TVM existe cin(a,b) tal que
b^b - a^a = f(b)-f(a)=f'(c),(b-a)=c^cl(ln c+1r)(b-a)
Como c>a>=1 implica ln c+1>1 e c^c>a^a, segue
b^b - a^a > a^a,(b-a)

Passo 3

(b) Defina
varphi(x)=lnl(tan xr)-ln x, 0<x<tfracpi2
Então
varphi'(x) =1sin xcos x-1x =x - sin xcos xx,sin xcos x
Em (0,pi/2) vale sin xcos x<x, logo varphi'(x)>0. Assim varphi é estritamente crescente e
varphi(b)>varphi(a) ;Longrightarrow; lnl(tan br)-ln b > lnl(tan ar)-ln a ;Longrightarrow; tan btan a> b a

Passo 4

(c) Defina
f(x)=ln xx, 1<= x<= e
Calculamos
f'(x) =tfrac1xcdot x - ln xx^2 =1-ln xx^2
Para 1<= x<= e temos 1-ln x>=0, logo f'(x)>=0. Pelo TVM existe cin(a,b) tal que
ln bb-ln aa =f'(c),(b-a) =1-ln cc^2,(b-a)
Como 1-ln c>0, obtém-se a parte esquerda >0. E como 1-ln c<=1-ln a<=1 e c>= a tem-se
f'(c)=1-ln cc^2<=1a^2,
logo
0<ln bb-ln aa<=b-aa^2

Passo 5

(d) Considere
psi(x)=l(ln xr)^2, x>=1
Então
psi'(x)=2,ln xx
Pelo TVM existe cin(a,b) com
(ln b)^2 - (ln a)^2 =psi(b)-psi(a) =psi'(c)(b-a) =2,ln cc,(b-a)
Em x>=1 a função xmapstoln xx atinge máximo igual a tfrac1e (no ponto x=e), logo
2,ln cc<=2e,
e daí
(ln b)^2 - (ln a)^2<=2e,(b-a)

Resposta

As desigualdades (a), (b), (c) e (d) do item 1 estão provadas por aplicação do Teorema do Valor Médio às funções indicadas.

Exercícios relacionados