Calcule integral duplal^l integrall x^2 d V, onde E é o sólido que está dentro do cilindro x^2+y^2=1, acima do plano z=0 e abaixo do cone z^2=4 x^2+4 y^2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral triplaE x^2 ,dV,
onde E é o sólido dentro do cilindro x^2+y^2=1, acima do plano z=0 e abaixo do cone z^2=4(x^2+y^2). Para resolver, vamos usar coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas:
x = rcostheta, y = rsintheta, dV = r,dz,dr,dtheta,
e o cone z^2=4(x^2+y^2) vira z=2r. Assim,
0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2pi, 0 <= z <= 2r

Passo 3

Substituindo x^2 = r^2cos^2theta e dV = r,dz,dr,dtheta, a integral torna-se
integral0^2piintegral0^1integral0^2r r^3cos^2theta,dz,dr,dtheta
Integramos primeiro em z:
integral0^2r!dz = 2r,
ficando
integral0^2piintegral0^12r^4cos^2theta,dr,dtheta

Passo 4

Agora separamos em duas integrais:
integral0^12r^4,dr = 2cdot15 = 25,
integral0^2picos^2theta,dtheta = pi
(pois a média de cos^2theta é 1/2).

Resposta

integral triplaE x^2,dV = 25,pi = 2pi5

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