Determine a massa da bola B dada por x^2+y^2+z^2 <= a^2 se a densidade é constante.

Passo 1

O enunciado pede a massa da bola Bcolon x^2+y^2+z^2<= a^2 quando a densidade é constante.
O conteúdo é cálculo de massa por integral tripla, e vamos usar coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas tomamos
x = rsinthetacosphi, y = rsinthetasinphi, z = rcostheta,
com 0<= r<= a, 0<=theta<=pi, 0<=phi<=2pi, e o elemento de volume é
dV = r^2sintheta,dr,dtheta,dphi

Passo 3

Seja rho a densidade constante. A massa é
m = integral triplaBrho,dV = integral0^2pi!integral0^pi!integral0^arho,r^2sintheta,dr,dtheta,dphi

Passo 4

Calculamos cada parte:
integral0^ar^2,dr = a^33, integral0^pisintheta,dtheta = 2, integral0^2pidphi = 2pi
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m = rho cdot a^33cdot 2cdot2pi = rho,4pi a^33

Resposta

m = 43,pi,rho,a^3

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