Use os teoremas estudados para obtenção de resíduos de polos simples ou de ordem n para calcular o resíduo em cada polo da função dada.
f(z)=1z^4+z^3-2 z^2

Passo 1

A questão pede para calcular os resíduos da função f(z)=1z^4+z^3-2z^2. O conteúdo usado aqui é o cálculo de resíduos em polos simples e de polos de ordem n. Para isso, vamos fatorar o denominador, identificar os polos e aplicar as fórmulas adequadas.

Passo 2

Fatorando o denominador temos
z^4+z^3-2z^2=z^2(z^2+z-2)=z^2(z+2)(z-1)
Portanto os polos são
(ordem 2),
(ordem 1) e
(ordem 1).

Passo 3

Cálculo dos resíduos em polos simples: a fórmula é
Res(f,a)=limzto a(z-a)f(z)
Para z=-2:
Res(f,-2)=limzto-2z+2z^2(z+2)(z-1)=1(-2)^2,(-3)=-112
Para z=1:
Res(f,1)=limzto1z-1z^2(z+2)(z-1)=11^2cdot3=13

Passo 4

Cálculo do resíduo no polo de ordem 2 em z=0. Usamos
Res(f,0)=11!limzto0ddzl[z^2f(z)r]
Como
z^2f(z)=1(z+2)(z-1),
derivamos:
ddz1(z+2)(z-1)=-1(z+2)^2(z-1)-1(z+2)(z-1)^2
Avaliando em z=0:
Res(f,0)=(-14cdot(-1)-12cdot1)=14-12=-14

Resposta

Os resíduos são Res(f,0)=-14, Res(f,-2)=-112 e Res(f,1)=13.

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