Use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular , usando o teorema de resíduos de Cauchy. O conteúdo principal é o cálculo de resíduos em singularidades (simples e essencial) que ficam dentro da curva , dada por .
Passo 2
Precisamos encontrar todas as singularidades de
e verificar quais estão dentro de . A primeira parcela tem singularidade essencial em . A segunda parcela tem polos simples quando , ou seja e . A curva é um elipse de semieixos (eixo ) e (eixo ), logo:
e estão dentro (pois ).
estão fora (pois ).
Passo 3
Para calcular o resíduo em de , fazemos a expansão em série de Laurent: