Use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC(z^2 e^1 / pi z+z e^zz^4-pi^4) d z, C: 4 x^2+y^2=16

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointCl(z^2e^1/(pi z) + ze^zz^4-pi^4r)dz, usando o teorema de resíduos de Cauchy. O conteúdo principal é o cálculo de resíduos em singularidades (simples e essencial) que ficam dentro da curva C, dada por 4x^2+y^2=16.

Passo 2

Precisamos encontrar todas as singularidades de
f(z)=z^2e^1/(pi z);+ ;ze^zz^4-pi^4
e verificar quais estão dentro de C. A primeira parcela tem singularidade essencial em z=0. A segunda parcela tem polos simples quando z^4-pi^4=0, ou seja z=pmpi e z=pm ipi. A curva 4x^2+y^2=16 é um elipse de semieixos 2 (eixo x) e 4 (eixo y), logo:
  • z=0 e z=pm ipi estão dentro (pois |Im z|=pi<4).
  • z=pmpi estão fora (pois |Re z|=pi>2).

Passo 3

Para calcular o resíduo em z=0 de z^2e^1/(pi z), fazemos a expansão em série de Laurent:
e^1/(pi z) = sumn=0^infty 1n!l(1pi zr)^n = sumn=0^infty 1n!,pi^n,z^-n
Multiplicando por z^2 obtemos
z^2e^1/(pi z) = sumn=0^infty 1n!,pi^n,z^2-n
O coeficiente de z^-1 ocorre quando 2-n=-1, ou seja n=3. Então
Res(z^2e^1/(pi z),0) = 13!,pi^3 = 16pi^3

Passo 4

Para os polos simples z0=pm ipi da segunda parcela, usamos
Resl(ze^zz^4-pi^4,z0r) = limzto z0 (z-z0)ze^zz^4-pi^4 = z0e^z0(z^4-pi^4)'l|z=z0 = z0e^z04z0^3 = e^z04z0^2
Para z0=ipi, e^ipi=-1 e (ipi)^2=-pi^2, daí
Res = -14(-pi^2) = 14pi^2
Mesma conta dá 14pi^2 em z0=-ipi.

Passo 5

Somando os resíduos dentro de C:
S = 16pi^3 + 14pi^2 + 14pi^2 = 16pi^3 + 12pi^2 = 1 + 3pi6pi^3
Pelo teorema de resíduos:
ointC f(z),dz = 2pi i,S = 2pi i cdot 1 + 3pi6pi^3 = i,(1+3pi)3pi^2

Resposta

i,(1+3pi)3pi^2

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