Use o teorema de resíduos de Cauchy, onde for apropriado, para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
i)
ii)
iii)
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a integral de linha em três círculos concêntricos com raios , e . O conteúdo é o Teorema dos Resíduos de Cauchy, e vamos precisar: identificar polos de , classificar cada polo (simples ou de ordem 2) e calcular os resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar onde estão os polos de : há um polo simples em e um polo de ordem 2 em . Em seguida, para cada raio do círculo, vemos quais polos ficam dentro do contorno:
Para : não entra nem nem , porque e .
Para : entra (pois ) mas não entra (pois ).
Para : entram e , já que ambos têm módulo menor que 3.
Passo 3
Vamos calcular os resíduos:
(a) Resíduo em (polo simples): usamos
Passo 4
(b) Resíduo em (polo de ordem 2): definimos e aplicamos
Passo 5
Agora usamos o Teorema dos Resíduos:
Para |z|=tfrac12: não há resíduos internos, logo a integral é zero.
Para |z|=tfrac32: só entra o polo em z=1, então
oint =2pi icdot19=2pi i9
Passo 6
Para |z|=3: entram os dois polos, cujos resíduos somam 1/9+(-1/9)=0, então a integral também é zero.