Use o teorema de resíduos de Cauchy, onde for apropriado, para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC 1(z-1)(z+2)^2 d z
i) |z|=12
ii) |z|=32
iii) |z|=3

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral de linha ointC 1(z-1)(z+2)^2,dz em três círculos concêntricos com raios tfrac12, tfrac32 e 3. O conteúdo é o Teorema dos Resíduos de Cauchy, e vamos precisar: identificar polos de f(z)=tfrac1(z-1)(z+2)^2, classificar cada polo (simples ou de ordem 2) e calcular os resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar onde estão os polos de f(z): há um polo simples em z=1 e um polo de ordem 2 em z=-2. Em seguida, para cada raio do círculo, vemos quais polos ficam dentro do contorno:
  • Para |z|=tfrac12: não entra nem z=1 nem z=-2, porque |1|=1>tfrac12 e |-2|=2>tfrac12.
  • Para |z|=tfrac32: entra z=1 (pois 1<1.5) mas não entra z=-2 (pois 2>1.5).
  • Para |z|=3: entram z=1 e z=-2, já que ambos têm módulo menor que 3.

Passo 3

Vamos calcular os resíduos:
(a) Resíduo em z=1 (polo simples): usamos
Res(f,1)=limzto1(z-1)1(z-1)(z+2)^2=1(1+2)^2=19

Passo 4

(b) Resíduo em z=-2 (polo de ordem 2): definimos g(z)=(z+2)^2f(z)=tfrac1z-1 e aplicamos
Res(f,-2)=limzto-2ddzl((z+2)^2f(z)r)=limzto-2ddz1z-1=-1(z-1)^2|z=-2=-19

Passo 5

Agora usamos o Teorema dos Resíduos:
  • Para |z|=tfrac12: não há resíduos internos, logo a integral é zero.
  • Para |z|=tfrac32: só entra o polo em z=1, então
oint =2pi icdot19=2pi i9

Passo 6

  • Para |z|=3: entram os dois polos, cujos resíduos somam 1/9+(-1/9)=0, então a integral também é zero.

Resposta

i) 0
ii) dfrac2pi i9
iii) 0

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