Use o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}+1}
usando o Teste de Comparação. O conteúdo é séries numéricas e vamos precisar comparar com uma p-série conhecida.

Passo 2

Para todo n\ge1 vale
n^{3}+1 > n^{3},
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\frac{1}{n^{3}+1} < \frac{1}{n^{3}}.

Passo 3

Sabemos que a p-série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}
converge, pois o expoente p=3 satisfaz p>1.

Passo 4

Como todos os termos \frac{1}{n^{3}+1} são positivos e menores termo a termo que \frac{1}{n^{3}}, pelo Teste de Comparação Direta concluímos que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}+1}
converge.

Resposta

A série converge.

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