Use o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}+1}

Passo 1

O enunciado pede para analisar
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}+1}
usando o teste de comparação. O conteúdo principal é comparação de séries numéricas e p-séries, lembrando que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}
converge se p>1 e diverge para p\le1.

Passo 2

Para comparar, note que para todo n\ge1 vale
\sqrt{n}+1 \le \sqrt{n}+\sqrt{n} = 2\sqrt{n},
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\frac{1}{\sqrt{n}+1} \ge \frac{1}{2\sqrt{n}}.

Passo 3

Considere a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2\sqrt{n}} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}.
Esta é uma p-série com p=\tfrac12\le1, portanto diverge. Pelo teste da comparação direta, como \tfrac{1}{\sqrt{n}+1}\ge\tfrac{1}{2\sqrt{n}} e \sum 1/(2\sqrt{n}) diverge, concluímos que \sum 1/(\sqrt{n}+1) também diverge.

Resposta

A série diverge.

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