Use o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ^{2} n}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^{2}n}{n^{2}}
usando o Teste de Comparação. O conteúdo aqui é séries de termos não negativos e p-séries.

Passo 2

Observamos que, para todo n,
0 \;\le\;\sin^{2}n\;\le\;1,
logo
0 \;\le\;\frac{\sin^{2}n}{n^{2}}\;\le\;\frac{1}{n^{2}}.

Passo 3

Sabemos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é uma p-série com p=2>1 e, portanto, converge.

Passo 4

Pelo Teste de Comparação, como \frac{\sin^{2}n}{n^{2}}\le\frac{1}{n^{2}} e \sum 1/n^{2} converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^{2}n}{n^{2}}
converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^{2}n}{n^{2}} converge.

Exercícios relacionados