Use um teste de comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
.: converge
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para decidir, usando um teste de comparação, se a série converge ou diverge.
Informações relevantes:
- O termo geral é
. - Só interessa o comportamento para
grandes; qualquer um ou dois termos iniciais não alteram a convergência (soma finita de termos). - Foi pedido explicitamente usar um teste de comparação (podemos usar o teste da comparação ou o teste da comparação por limites).
Passo 2
Vou explicar rapidamente o teste que vou usar (limite de comparação), de um jeito simples.
Teste da comparação por limites (limit comparison test):
- Sejam
e para todo suficientemente grande. - Se existir o limite
com
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Intuição simples: quando
tende a uma constante positiva, os termos
e
são da mesma “ordem” quando
é grande, então uma série converge se e somente se a outra convergir.
Passo 3
Escolha de uma série
conveniente para comparar:
- Queremos uma
que torne a comparação fácil e cuja série já se saiba que converge. - Note que aparece
, que lembra os termos da série exponencial . Mas há também o fator . - Uma escolha útil é “remover” um fator de
do fatorial do denominador: defina, para ,
Essa
tem relação direta com a série exponencial por um deslocamento de índice (veremos isso).
Passo 4
Calcular a razão
e simplificá-la:
Agora use
. Substituindo,
Passo 5
Calcular o limite da razão quando
:
Esse limite é um número finito e estritamente positivo (
). Portanto, pelo teste da comparação por limites, as séries
e
têm o mesmo comportamento (ou seja, ou ambas convergem, ou ambas divergem).
Passo 6
Mostrar que
converge:
- Reescrevemos
fazendo a mudança de índice . Para tem e
- Assim a soma dos termos
a partir de é, com ,
- A série
converge (é a série de Taylor de ). Portanto também converge (é a série de menos o termo ). Logo converge, e portanto também converge (incluir os primeiros dois termos é apenas uma soma finita).
Passo 7
Conclusão pela comparação por limites:
- Já mostramos que
com . - Como
converge, pelo teste da comparação por limites segue que também converge. - Observação final: os possíveis dois primeiros termos
não mudam a conclusão, pois remover ou acrescentar um número finito de termos não altera convergência.
Resposta
converge