Use um teste de comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{2} 2^{n}}{n!} R.: converge

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} 2^{n}}{n!}
e pede para decidir, usando um teste de comparação, se a série converge ou diverge.
Informações relevantes:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n^{2}2^{n}}{n!}.
  • Só interessa o comportamento para n grandes; qualquer um ou dois termos iniciais não alteram a convergência (soma finita de termos).
  • Foi pedido explicitamente usar um teste de comparação (podemos usar o teste da comparação ou o teste da comparação por limites).

Passo 2

Vou explicar rapidamente o teste que vou usar (limite de comparação), de um jeito simples.
Teste da comparação por limites (limit comparison test):
  • Sejam a_n\ge 0 e b_n>0 para todo n suficientemente grande.
  • Se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
com 0< L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Intuição simples: quando a_n/b_n tende a uma constante positiva, os termos a_n e b_n são da mesma “ordem” quando n é grande, então uma série converge se e somente se a outra convergir.

Passo 3

Escolha de uma série b_n conveniente para comparar:
  • Queremos uma b_n que torne a comparação fácil e cuja série já se saiba que converge.
  • Note que aparece 2^{n}/n!, que lembra os termos da série exponencial \sum 2^{n}/n!=e^{2}. Mas há também o fator n^{2}.
  • Uma escolha útil é “remover” um fator de n(n-1) do fatorial do denominador: defina, para n\ge 3,
b_n=\frac{2^{n}}{(n-2)!}.
Essa b_n tem relação direta com a série exponencial por um deslocamento de índice (veremos isso).

Passo 4

Calcular a razão a_n/b_n e simplificá-la:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\dfrac{n^{2}2^{n}}{n!}}{\dfrac{2^{n}}{(n-2)!}} = n^{2}\cdot\frac{(n-2)!}{n!}.
Agora use n! = n(n-1)(n-2)!. Substituindo,
\frac{a_n}{b_n} = n^{2}\cdot\frac{(n-2)!}{n(n-1)(n-2)!} = \frac{n^{2}}{n(n-1)} = \frac{n}{n-1}.

Passo 5

Calcular o limite da razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=1.
Esse limite é um número finito e estritamente positivo ( L=1). Portanto, pelo teste da comparação por limites, as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ou seja, ou ambas convergem, ou ambas divergem).

Passo 6

Mostrar que \sum b_n converge:
  • Reescrevemos b_n fazendo a mudança de índice k=n-2. Para n\ge 3 tem k\ge1 e
b_n=\frac{2^{n}}{(n-2)!}=\frac{2^{k+2}}{k!}=4\cdot\frac{2^{k}}{k!}.
  • Assim a soma dos termos b_n a partir de n=3 é, com k=n-2,
\sum_{n=3}^{\infty} b_n = 4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k}}{k!}.
  • A série \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{2^{k}}{k!} converge (é a série de Taylor de e^{2}). Portanto \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{2^{k}}{k!} também converge (é a série de e^{2} menos o termo k=0). Logo \sum_{n=3}^{\infty} b_n converge, e portanto \sum_{n=1}^{\infty} b_n também converge (incluir os primeiros dois termos é apenas uma soma finita).

Passo 7

Conclusão pela comparação por limites:
  • Já mostramos que \lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n}=1 com 0<1<\infty.
  • Como \sum b_n converge, pelo teste da comparação por limites segue que \sum a_n também converge.
  • Observação final: os possíveis dois primeiros termos n=1,2 não mudam a conclusão, pois remover ou acrescentar um número finito de termos não altera convergência.

Resposta

converge

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