Como sabemos, se \sum_{n}^{\infty} a_{n} e \sum_{n}^{\infty} b_{n} são séries de termos finitos tais que \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=L, L>0 e finito, então ou ambas convergem ou ambas divergem. Mas, também pode-se mostrar que se a série dos b_{n} converge(diverge) e se \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=0(\infty), então, a série dos a_{n} converge(diverge). Use estes fatos para mostrar o que se pede:
Se a_{n}>0 e \sum_{n}^{\infty} a_{n} for convergente, mostre que \sum_{n}^{\infty} \ln \left(1+a_{n}\right) também é convergente. Use o teste de comparação junto com o Teorema de L’Hospital.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar direitinho para não nos perdermos):
  • Foi dado que a_{n}>0 para todo n.
  • Foi dado que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} é convergente.
  • O que devemos mostrar: que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\bigl(1+a_{n}\bigr) também é convergente.
Informações úteis que já podemos anotar sem resolver nada ainda:
  • Como a_{n}>0 e a série \sum a_{n} converge, é certo que a_{n}\to 0 quando n\to\infty.
  • As quantidades \ln\!\bigl(1+a_{n}\bigr) são bem definidas e positivas (pois a_{n}>0).
  • A estratégia pedida: usar um teste de comparação conjunto com o Teorema de L’Hospital. Ou seja, vamos comparar \ln(1+a_{n}) com a_{n} usando o limite do quociente \dfrac{\ln(1+a_{n})}{a_{n}}, que será obtido por L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, mostrar que a_{n}\to 0. Explicando com calma: se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge e todos os a_{n} são não negativos, então as somas parciais
s_{N}=\sum_{n=1}^{N} a_{n}
formam uma sequência monótona crescente e limitada (pela soma total), logo (s_{N}) converge. Mas
a_{N}=s_{N}-s_{N-1}.
Como s_{N}\to S e s_{N-1}\to S, segue que
\lim_{N\to\infty} a_{N}=\lim_{N\to\infty}(s_{N}-s_{N-1})=S-S=0.
Portanto \displaystyle a_{n}\xrightarrow{n\to\infty}0. Isso é importante para podermos aplicar L’Hospital ao limite quando o argumento tende a zero.

Passo 3

Agora vamos estudar a função que aparece no quociente. Defina as funções (funções reais, suaves perto de 0):
f(x)=\ln(1+x),\qquad g(x)=x,
consideradas para x>-1. Queremos o limite
\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}.
Este é um caso de forma indeterminada \tfrac{0}{0} quando x\to 0, pois \ln(1+0)=0 e 0=0. O Teorema de L’Hospital diz, sob hipóteses de diferenciabilidade, que esse limite é igual ao limite do quociente das derivadas (se este último existir). Vamos aplicar L’Hospital: as derivadas são
f'(x)=\frac{1}{1+x},\qquad g'(x)=1.
Logo, assumindo as hipóteses do teorema (que valem aqui), temos
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x} =1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.

Passo 4

Agora relacionar esse limite de função com o limite de sequência que precisamos. Como mostramos no Passo 2, a_{n}\to 0. Então, substituindo x=a_{n} na expressão anterior e usando a propriedade de composição de limites (se x_n\to 0 e \frac{\ln(1+x)}{x}\to 1 quando x\to 0, então \frac{\ln(1+x_n)}{x_n}\to 1), obtemos:
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\!\bigl(1+a_{n}\bigr)}{a_{n}}=1.
Esse passo é simples: o comportamento local da função perto de 0 determina o comportamento do quociente avaliado na sequência a_{n} que vai a 0.

Passo 5

Usar o teste da comparação por limite (limite do quociente). O teorema do teste da comparação por limite (ou teste da razão limite) afirma: se a_{n}>0, b_{n}>0 e \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}=L com 0<L<\infty, então \sum a_{n} converge se, e somente se, \sum b_{n} converge. Aqui tomamos
b_{n}=a_{n}\qquad\text{e}\qquad a_{n}^{(\text{novo})}=\ln\!\bigl(1+a_{n}\bigr).
Já calculamos que
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\!\bigl(1+a_{n}\bigr)}{a_{n}}=1,
ou seja, L=1 (que é um número positivo e finito). Portanto, pelo teste da comparação por limite, as séries \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\bigl(1+a_{n}\bigr) têm o mesmo comportamento de convergência: ou ambas convergem ou ambas divergem.

Passo 6

Concluir usando a hipótese inicial: como pelo enunciado \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, pela equivalência acima a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\bigl(1+a_{n}\bigr) também converge. Portanto mostramos o que era pedido.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\ln\bigl(1+a_{n}\bigr) converge.

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