Use o teste da comparação ou da comparação do limite para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{n^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^{2}-4}
usando o teste da comparação (direta ou por limite). Note que os termos de índice n=1 e n=2 não estão definidos, mas isso não afeta a convergência, pois remover ou alterar um número finito de termos não altera o comportamento assintótico da série. Assim, podemos olhar só para n\ge3. Vamos usar o teste da comparação com a série p-séria \sum 1/n^{2}, que sabemos convergir (pois 2>1).

Passo 2

Para n\ge3 temos
n^{2}-4 \;\ge\; \frac{n^{2}}{2},
pois n^{2}-4\ge n^{2}-\frac{n^{2}}{4}=\frac{3n^{2}}{4}>\frac{n^{2}}{2}. Logo,
0 \;<\; \frac{4}{n^{2}-4} \;\le\; \frac{4}{\tfrac{n^{2}}{2}} =\frac{8}{n^{2}}.
Como a série \sum_{n=3}^{\infty}8/n^{2} converge (é constante vezes \sum1/n^{2}), pelo teste da comparação direta a série original converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^{2}-4} é convergente.

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