Use o teste da comparação no limite para determinar se a série converge.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{9 k+6}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{9k + 6}
usando o teste de comparação no limite. O conteúdo envolvido é séries de termos positivos e p-séries. Vamos comparar com a série harmônica \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}, que sabemos que diverge.

Passo 2

Definimos
a_k = \frac{1}{9k+6}
e a série comparativa
b_k = \frac{1}{k}.
Sabemos que \sum b_k é a série harmônica, logo diverge (p-série com p=1).

Passo 3

Calculamos o limite
L = \lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k} = \lim_{k \to \infty} \frac{\frac{1}{9k+6}}{\frac{1}{k}} = \lim_{k \to \infty} \frac{k}{9k+6} = \frac{1}{9}.

Passo 4

Como 0 < L < \infty, pelo teste de comparação no limite a série \sum a_k e a série \sum b_k têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem. Como \sum b_k diverge, concluímos que \sum a_k também diverge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{9k+6}
diverge pelo teste de comparação no limite.

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