Use o Teste da Comparação por limite para verificar se as séries abaixo convergem ou não. Justifique.

Passo 1

A série em questão é sumn=1^+infty 3 n^2+5 n2^n(n^2+1). O conteúdo que vamos usar é Séries Numéricas e, mais especificamente, o Teste da Comparação por limite, que nos permite comparar com uma série de comportamento conhecido e concluir sobre convergência.

Passo 2

Para escolher a série comparadora, observamos que, para n grande, 3n^2+5nsim 3n^2 e n^2+1sim n^2. Assim,
an=3n^2+5n2^n(n^2+1)sim 3n^22^nn^2=32^n

Passo 3

Logo, tomamos como comparadora a série geométrica sum bn com bn=tfrac12^n, pois sabemos que sum bn converge (razão 1/2<1).

Passo 4

Agora calculamos o limite
L=limntoinftyanbn=limntoinfty3n^2+5n2^n(n^2+1)12^n=limntoinfty3n^2+5nn^2+1=3

Passo 5

Como 0< L<+infty, o Teste da Comparação por limite diz que sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência. Sabendo que sum bn converge, concluímos que sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 3 n^2+5 n2^n(n^2+1) converge.

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