Use o Teste da Integral para decidir se a série converge:
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas:
- A série é indexada por
. - O termo geral é
. - Para todo
temos , logo .
Passo 2
Apresentação do Teste da Integral (fórmula e ideia): seja
uma função positiva, contínua e decrescente em
. Se definirmos
para
, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge. Intuitivamente, isso ocorre porque os termos da soma ficam “entre” áreas de retângulos cujo total é comparável à integral; portanto estudar a integral nos diz se a soma das áreas (a série) é finita ou não.
Passo 3
Escolher a função
apropriada e verificar as hipóteses do teste:
- Defina
para . - Continuidade e positividade: para
tem-se , e é composição de funções contínuas sem singularidades em ; logo é contínua e em . - Monotonicidade (decrescência): calcule
. Escrevendo ,
Para
temos
, portanto
e
. Conclusão:
é decrescente em
.
- Assim todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas e podemos aplicar o teste usando
.]
Passo 4
Aplicar o Teste da Integral calculando a integral imprópria:
Faça a substituição
. Então
. Quando
tem-se
; quando
tem-se
. A integral transforma-se em
Calcule essa integral imprópria:
Avalie o limite:
que é finito. Portanto a integral converge.
Passo 5
Conclusão pelo Teste da Integral: como a função
é positiva, contínua e decrescente em
e a integral
converge (vale
), a série
converge. Como todos os termos são positivos, essa convergência é, claro, convergência absoluta.
Resposta
A série
converge.