Use o Teste da Integral para decidir se a série converge:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas:
  • A série é indexada por n=2,3,4,\dots.
  • O termo geral é a_{n}=\dfrac{1}{n(\ln n)^{2}}.
  • Para todo n\ge 2 temos \ln n>0, logo a_{n}>0.

Passo 2

Apresentação do Teste da Integral (fórmula e ideia): seja f(x) uma função positiva, contínua e decrescente em [N,\infty). Se definirmos a_{n}=f(n) para n\ge N, então a série \sum_{n=N}^{\infty}a_{n} converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{N}^{\infty} f(x)\,dx
converge. Intuitivamente, isso ocorre porque os termos da soma ficam “entre” áreas de retângulos cujo total é comparável à integral; portanto estudar a integral nos diz se a soma das áreas (a série) é finita ou não.

Passo 3

Escolher a função f apropriada e verificar as hipóteses do teste:
  • Defina \displaystyle f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}} para x\ge 2.
  • Continuidade e positividade: para x\ge 2 tem-se \ln x>0, e f é composição de funções contínuas sem singularidades em [2,\infty); logo f é contínua e f(x)>0 em [2,\infty).
  • Monotonicidade (decrescência): calcule f'(x). Escrevendo f(x)=x^{-1}(\ln x)^{-2},
\begin{aligned} f'(x) &= -x^{-2}(\ln x)^{-2} + x^{-1}\cdot(-2)(\ln x)^{-3}\cdot\frac{1}{x}\\[4pt] &= -\frac{1}{x^{2}(\ln x)^{2}} - \frac{2}{x^{2}(\ln x)^{3}}\\[4pt] &= -\frac{1}{x^{2}(\ln x)^{3}}\bigl(\ln x + 2\bigr). \end{aligned}
Para x\ge 2 temos \ln x\ge \ln 2>0, portanto \ln x+2>0 e f'(x)<0. Conclusão: f é decrescente em [2,\infty).
  • Assim todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas e podemos aplicar o teste usando f.]

Passo 4

Aplicar o Teste da Integral calculando a integral imprópria:
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx.
Faça a substituição u=\ln x. Então \,du=\dfrac{dx}{x}. Quando x=2 tem-se u=\ln 2; quando x\to\infty tem-se u\to\infty. A integral transforma-se em
\int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{u^{2}}\,du.
Calcule essa integral imprópria:
\int \frac{1}{u^{2}}\,du = \int u^{-2}\,du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{u}+C.
Avalie o limite:
\lim_{b\to\infty}\int_{\ln 2}^{b} u^{-2}\,du = \lim_{b\to\infty}\Bigl(-\frac{1}{b} + \frac{1}{\ln 2}\Bigr) = 0 + \frac{1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2},
que é finito. Portanto a integral converge.

Passo 5

Conclusão pelo Teste da Integral: como a função f(x)=\dfrac{1}{x(\ln x)^{2}} é positiva, contínua e decrescente em [2,\infty) e a integral \displaystyle\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx converge (vale \dfrac{1}{\ln 2}), a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}
converge. Como todos os termos são positivos, essa convergência é, claro, convergência absoluta.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}} converge.

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