Use o Teste da Comparação para analisar a série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{n^{2}+4 n}

Passo 1

O enunciado fornece a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{n^{2}+4 n}.
O que a questão pede é verificar se essa série converge ou diverge (ou seja, se a soma infinita existe como um número finito).

Passo 2

Explicando o teste que vamos usar (a ideia do Teste da Comparação, em palavras simples).
  • Suponha que temos duas sequências de termos não negativos \{a_n\} e \{b_n\} com 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande.
  • Se a série \sum b_n converge, então a série \sum a_n também converge (porque cada termo de \sum a_n é menor ou igual ao correspondente de \sum b_n, então a soma parcial de \sum a_n fica sempre menor ou igual à soma parcial de \sum b_n, que tem limite finito).
  • Um exemplo muito útil de série de referência é a série-p (p-series): \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}. Sabe-se que essa série converge se, e somente se, p>1. Em particular, \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge (é a p-série com p=2).

Passo 3

Vamos comparar o termo geral da série dada com um termo de p-série.
Para n\ge 1 vale a desigualdade
n^{2}+4n \ge n^{2},
portanto, dividindo por n^{2}+4n (positivo) obtemos
\frac{1}{n^{2}+4n} \le \frac{1}{n^{2}}.
Multiplicando por 5>0 (que preserva a desigualdade), chegamos a
0<\frac{5}{n^{2}+4n}\le\frac{5}{n^{2}}.

Passo 4

Agora usamos a série de comparação. Consideramos a série de referência
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{n^{2}}=5\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Como referido no Passo 2, a p-série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge (porque p=2>1). Logo \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{5}{n^{2}} também converge (multiplicar por 5 só escala a soma por 5).

Passo 5

Aplicando o Teste da Comparação direta: para todo n\ge1 tem-se
0<\frac{5}{n^{2}+4n}\le\frac{5}{n^{2}},
e já mostramos que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{5}{n^{2}} converge. Portanto, pela regra do Teste da Comparação, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{n^{2}+4 n}
também converge.

Passo 6

Comentário extra (útil na prova): se quiser um limite superior numérico simples para a soma, pode usar que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{\pi^{2}}{6} (resultado clássico), então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{n^{2}+4 n}\le 5\cdot\frac{\pi^{2}}{6}\approx 8{,}2247\dots
Se não lembrar do valor exato \pi^{2}/6, um bound mais elementar vem do teste da integral: \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}\le 1+\int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^{2}}\,dx=1+1=2, então a soma original é \le 5\cdot 2=10.

Resposta

A série converge.

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