Use o Teste da Comparação para analisar a série:
Passo 1
O enunciado fornece a série de termos positivos
O que a questão pede é verificar se essa série converge ou diverge (ou seja, se a soma infinita existe como um número finito).
Passo 2
Explicando o teste que vamos usar (a ideia do Teste da Comparação, em palavras simples).
- Suponha que temos duas sequências de termos não negativos
e com para todo suficientemente grande. - Se a série
converge, então a série também converge (porque cada termo de é menor ou igual ao correspondente de , então a soma parcial de fica sempre menor ou igual à soma parcial de , que tem limite finito). - Um exemplo muito útil de série de referência é a série-p (p-series):
. Sabe-se que essa série converge se, e somente se, . Em particular, converge (é a p-série com ).
Passo 3
Vamos comparar o termo geral da série dada com um termo de p-série.
Para vale a desigualdade
Para
portanto, dividindo por
(positivo) obtemos
Multiplicando por
(que preserva a desigualdade), chegamos a
Passo 4
Agora usamos a série de comparação. Consideramos a série de referência
Como referido no Passo 2, a p-série
converge (porque
). Logo
também converge (multiplicar por
só escala a soma por
).
Passo 5
Aplicando o Teste da Comparação direta: para todo
tem-se
e já mostramos que
converge. Portanto, pela regra do Teste da Comparação, a série
também converge.
Passo 6
Comentário extra (útil na prova): se quiser um limite superior numérico simples para a soma, pode usar que
(resultado clássico), então
Se não lembrar do valor exato
, um bound mais elementar vem do teste da integral:
, então a soma original é
.
Resposta
A série converge.