Use o Teste da Razão para determinar a convergência ou divergência da série:
Passo 1
O enunciado fornece a série
e pede para determinar se ela converge ou diverge, usando o Teste da Razão. Informação importante extraída do enunciado:
- O termo geral é
. - Todos os termos são positivos (portanto, discutir convergência absoluta faz sentido).
A partir daqui vamos aplicar o Teste da Razão.
Passo 2
O que é e como usar o Teste da Razão (mini-aula rápida):
- Seja uma série
com termos (podem ser complexos ou reais). Definimos
- Interpretações do resultado:
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo (não diz nada).
- Se
- “Converge absolutamente” significa que a série dos módulos
converge. Para séries com termos positivos, convergência absoluta equivale à convergência simples.
Passo 3
Escrever explicitamente
e
:
Passo 4
Calcular a razão
passo a passo (mostrar cada cancelamento):
Agora simplifica-se
e
. Portanto
Passo 5
Encontrar o limite
:
Como
, a fração
tende a
. Logo
Passo 6
Interpretar o resultado pelo Teste da Razão:
- Como
, pelo enunciado do teste a série converge absolutamente. - Consequentemente, a série
converge.
Passo 7
Comentário adicional (intuição e valor da soma):
- Intuitivamente, o fatorial
cresce muito mais rápido que a exponencial , por isso os termos vão a zero muito rápido e a soma converge. - Observação extra: usando a série da exponencial
com , obtém-se
Logo, removendo o termo
(que é
), tem-se
Isto confirma a convergência e dá o valor da soma.
Resposta
Converge absolutamente.