Use o Teste da Razão para determinar a convergência ou divergência da série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado fornece a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n!}
e pede para determinar se ela converge ou diverge, usando o Teste da Razão. Informação importante extraída do enunciado:
  • O termo geral é \displaystyle a_{n}=\frac{3^{n}}{n!}.
  • Todos os termos são positivos (portanto, discutir convergência absoluta faz sentido).
    A partir daqui vamos aplicar o Teste da Razão.

Passo 2

O que é e como usar o Teste da Razão (mini-aula rápida):
  • Seja uma série \sum a_{n} com termos a_{n} (podem ser complexos ou reais). Definimos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|.
  • Interpretações do resultado:
    • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
    • Se L>1, a série diverge.
    • Se L=1, o teste é inconclusivo (não diz nada).
  • “Converge absolutamente” significa que a série dos módulos \sum |a_n| converge. Para séries com termos positivos, convergência absoluta equivale à convergência simples.

Passo 3

Escrever explicitamente a_{n} e a_{n+1}:
a_{n}=\frac{3^{n}}{n!}, \qquad a_{n+1}=\frac{3^{\,n+1}}{(n+1)!}.

Passo 4

Calcular a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} passo a passo (mostrar cada cancelamento):
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{3^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{3^{n}}{n!}} = \frac{3^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3^{n}}.
Agora simplifica-se 3^{\,n+1}/3^{n}=3 e (n!)/(n+1)! = 1/(n+1). Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3}{n+1}.

Passo 5

Encontrar o limite L:
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+1}.
Como n+1\to\infty, a fração \dfrac{3}{n+1} tende a 0. Logo
L=0.

Passo 6

Interpretar o resultado pelo Teste da Razão:
  • Como L=0<1, pelo enunciado do teste a série converge absolutamente.
  • Consequentemente, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n!} converge.

Passo 7

Comentário adicional (intuição e valor da soma):
  • Intuitivamente, o fatorial n! cresce muito mais rápido que a exponencial 3^{n}, por isso os termos vão a zero muito rápido e a soma converge.
  • Observação extra: usando a série da exponencial \displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} com x=3, obtém-se
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3^{n}}{n!}=e^{3}.
Logo, removendo o termo n=0 (que é 1), tem-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n!}=e^{3}-1.
Isto confirma a convergência e dá o valor da soma.

Resposta

Converge absolutamente.

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