Use o teste da integral para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n+3}{\left(n^{2}+3 n\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+3}{\left(n^{2}+3n\right)^{2}}
e pede que eu determine se ela converge, usando o teste da integral.
Informações relevantes: os termos gerais são positivos para todo n\ge1 e a soma vai de n=1 até infinito. O que preciso verificar/usar com o teste da integral são as propriedades da função contínua positiva e decrescente cuja amostra em inteiros é exatamente o termo geral da série.

Passo 2

Enunciando claramente o teste da integral (a ideia que vou aplicar): se existe uma função f(x) tal que f(n)=a_n para todo n\ge1, e f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty), então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge (ou seja, é finita). Portanto meu plano é: definir f(x) igual ao termo geral visto como função de x, verificar as condições (positiva, contínua, decrescente) e calcular a integral imprópria.

Passo 3

Defino a função
f(x)=\frac{2x+3}{\left(x^{2}+3x\right)^{2}},\qquad x\ge1,
que satisfaz f(n)=\dfrac{2n+3}{(n^2+3n)^2}. Vou trabalhar com f nas propriedades que o teste exige.

Passo 4

Verifico positividade e continuidade:
  • Para x\ge1 temos x^{2}+3x>0 e 2x+3>0, então f(x)>0.
  • A função é racional com denominador não nulo para x\ge1, logo é contínua em [1,\infty).
    Assim, as duas primeiras hipóteses do teste da integral (positiva e contínua) estão satisfeitas.

Passo 5

Verifico que f é decrescente em [1,\infty) calculando a derivada e mostrando que é negativa. Uso quociente/derivação e simplificação passo a passo.
Começo por escrever u(x)=2x+3 e v(x)=(x^{2}+3x)^{2}, então
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.
Derivando:
u'(x)=2,
v'(x)=2(x^{2}+3x)\cdot(2x+3)
(porque derivada de g(x)^2 é 2g(x)g'(x) com g(x)=x^2+3x, e g'(x)=2x+3). Agora a derivada de f é
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Substituindo:
f'(x)=\frac{2\,(x^{2}+3x)^{2}-(2x+3)\cdot 2(x^{2}+3x)(2x+3)}{(x^{2}+3x)^{4}}.
Fatorando 2(x^{2}+3x) do numerador:
f'(x)=\frac{2(x^{2}+3x)\bigl[(x^{2}+3x)-(2x+3)^{2}\bigr]}{(x^{2}+3x)^{4}}.
Calculo a expressão dentro dos colchetes:
(x^{2}+3x)-(2x+3)^{2}=x^{2}+3x-(4x^{2}+12x+9)=-3x^{2}-9x-9=-3(x^{2}+3x+3).
Logo o numerador fica
2(x^{2}+3x)\cdot\bigl[-3(x^{2}+3x+3)\bigr]=-6(x^{2}+3x)(x^{2}+3x+3).
Portanto
f'(x)=\frac{-6(x^{2}+3x)(x^{2}+3x+3)}{(x^{2}+3x)^{4}}=-6\frac{x^{2}+3x+3}{(x^{2}+3x)^{3}}.
Para x\ge1 o numerador x^{2}+3x+3 é positivo e o denominador (x^{2}+3x)^{3} também é positivo, então f'(x)<0 para todo x\ge1. Conclusão: f é decrescente em [1,\infty). Assim, todas as hipóteses do teste da integral estão verificadas.

Passo 6

Calculo agora a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{2x+3}{\left(x^{2}+3x\right)^{2}}\,dx.
Faço a substituição natural t=x^{2}+3x. Então
dt=(2x+3)\,dx,
portanto o integrando fica simples: (2x+3)\,dx=dt e (x^{2}+3x)^{2}=t^{2}. Os limites: quando x=1 temos t=1^{2}+3\cdot1=4; quando x\to\infty temos t\to\infty. Assim
\int_{1}^{\infty}\frac{2x+3}{(x^{2}+3x)^{2}}\,dx=\int_{4}^{\infty}\frac{1}{t^{2}}\,dt.
Calculo a integral de t^{-2}:
\int_{4}^{\infty} t^{-2}\,dt=\left[-\frac{1}{t}\right]_{4}^{\infty}=\left(0\right)-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}.
A integral imprópria é finita (vale \tfrac{1}{4}), logo converge.

Passo 7

Aplicando o teste da integral: como f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty) e a integral \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge (vale \tfrac{1}{4}), a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+3}{(n^{2}+3n)^{2}}
converge. Como os termos são positivos, essa convergência é também convergência absoluta (para séries de termos não-negativos, convergência = convergência absoluta).

Passo 8

Dica rápida para a prova: quando você vê uma função racional onde o numerador é exatamente (ou é múltiplo de) a derivada do polinômio do denominador, pense imediatamente em usar a substituição t= denominador. Aqui foi perfeito: (2x+3) é a derivada de (x^{2}+3x), o que transformou a integral numérica numa integral elementar de t^{-2}.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

Exercícios relacionados