Use o teste da integral para determinar a convergência da série.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que eu determine se ela converge, usando o teste da integral.
Informações relevantes: os termos gerais são positivos para todo e a soma vai de
até infinito. O que preciso verificar/usar com o teste da integral são as propriedades da função contínua positiva e decrescente cuja amostra em inteiros é exatamente o termo geral da série.
Informações relevantes: os termos gerais são positivos para todo
Passo 2
Enunciando claramente o teste da integral (a ideia que vou aplicar): se existe uma função
tal que
para todo
, e
é positiva, contínua e decrescente em
, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge (ou seja, é finita). Portanto meu plano é: definir
igual ao termo geral visto como função de
, verificar as condições (positiva, contínua, decrescente) e calcular a integral imprópria.
Passo 3
Defino a função
que satisfaz
. Vou trabalhar com
nas propriedades que o teste exige.
Passo 4
Verifico positividade e continuidade:
- Para
temos e , então . - A função é racional com denominador não nulo para
, logo é contínua em .
Assim, as duas primeiras hipóteses do teste da integral (positiva e contínua) estão satisfeitas.
Passo 5
Verifico que
é decrescente em
calculando a derivada e mostrando que é negativa. Uso quociente/derivação e simplificação passo a passo.
Começo por escrever
e
, então
Derivando:
(porque derivada de
é
com
, e
). Agora a derivada de
é
Substituindo:
Fatorando
do numerador:
Calculo a expressão dentro dos colchetes:
Logo o numerador fica
Portanto
Para
o numerador
é positivo e o denominador
também é positivo, então
para todo
. Conclusão:
é decrescente em
. Assim, todas as hipóteses do teste da integral estão verificadas.
Passo 6
Calculo agora a integral imprópria
Faço a substituição natural
. Então
portanto o integrando fica simples:
e
. Os limites: quando
temos
; quando
temos
. Assim
Calculo a integral de
:
A integral imprópria é finita (vale
), logo converge.
Passo 7
Aplicando o teste da integral: como
é positiva, contínua e decrescente em
e a integral
converge (vale
), a série
converge. Como os termos são positivos, essa convergência é também convergência absoluta (para séries de termos não-negativos, convergência = convergência absoluta).
Passo 8
Dica rápida para a prova: quando você vê uma função racional onde o numerador é exatamente (ou é múltiplo de) a derivada do polinômio do denominador, pense imediatamente em usar a substituição
denominador. Aqui foi perfeito:
é a derivada de
, o que transformou a integral numérica numa integral elementar de
.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).