Mostre que uma solução implícita da equação diferencial
é dada por
.
Ache as soluções constantes, se houver, que tenham sido perdidas no processo de resolução da equação diferencial.
é dada por
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
As tarefas são: (i) mostrar que uma solução implícita é dada por uma expressão do tipo
)}=C) (o enunciado sugere
); (ii) achar soluções constantes que possam ter sido perdidas no processo de resolução.
Informações relevantes dadas: a equação está escrita na forma com
e
. Vou resolver a equação mostrando todos os passos e, ao separar variáveis, vou apontar explicitamente se alguma divisão pode excluir soluções (essas serão as “perdidas”).
Informações relevantes dadas: a equação está escrita na forma
Passo 2
Transformar a equação para separação de variáveis. Parto de
Agora divido ambos os lados por
. Importante: ao fazer essa divisão estou assumindo
; portanto as soluções com
serão tratadas separadamente depois (são possíveis soluções perdidas). Depois da divisão obtemos
Isto é separação de variáveis: tudo em
à esquerda, tudo em
à direita.
Passo 3
Integrar os dois lados. Vou tratar as integrais uma a uma e explicar os passos:
-
Esquerda:
.
Faça a substituição. Então . A integral vira . Voltando para , Observação didática: a técnica usada é substituição simples;é exatamente , por isso dá o logaritmo natural. -
Direita:
.
Faça a substituição. Então . A integral torna-se . Integrando, Voltando para, Observação didática: reconhecer quesimplifica muito; integrar dá .
Passo 4
Juntando as integrais (colocando constantes numa só) obtemos
ou, reescrevendo,
Esta é a solução implícita geral obtida pela separação de variáveis para as curvas onde
.
Nota importante sobre a expressão sugerida no enunciado: a forma
não é conseguida por integração direta da equação dada. A integral correta do membro em
é
, não
. Portanto a expressão correta é com
(ou
).
Passo 5
Agora encontro as soluções constantes que podem ter sido perdidas quando dividi por
. Ao separar variáveis eu dividi por
, portanto perdi possíveis soluções com
. Vamos verificar constantes
(ou seja,
):
Escrevendo a equação original na forma de derivada,
Para
constante precisamos de
para todo
. Isso exige
, ou seja
. As soluções são
Verificação: para
temos
e
, então a expressão original
fica
, isto é satisfeita (mais direto: com
e
o primeiro termo também é zero). Portanto
são de fato soluções constantes.
Passo 6
Resumo final do que encontramos (e comentário de incentivo): a integração direta e correta dá a solução implícita com
, e as soluções constantes perdidas ao dividir por
são exatamente os casos
. Está tudo bem — esse tipo de detalhe (dividir por uma expressão que pode ser zero) é uma armadilha clássica; você já fez certo em perguntar.