Mostre que uma solução implícita da equação diferencial
2 x \sin ^{2}(y) d x-\left(x^{2}+10\right) \cos (y) d y=0
é dada por
\ln \left(x^{2}+10\right)+\cos (y)=C.
Ache as soluções constantes, se houver, que tenham sido perdidas no processo de resolução da equação diferencial.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2x\sin^{2}(y)\,dx-(x^{2}+10)\cos(y)\,dy=0.
As tarefas são: (i) mostrar que uma solução implícita é dada por uma expressão do tipo \ln(\,x^{2}+10\,)+\text{(algo em \(y)}=C) (o enunciado sugere \ln(x^{2}+10)+\cos(y)=C); (ii) achar soluções constantes que possam ter sido perdidas no processo de resolução.
Informações relevantes dadas: a equação está escrita na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=2x\sin^{2}(y) e N(x,y)=-(x^{2}+10)\cos(y). Vou resolver a equação mostrando todos os passos e, ao separar variáveis, vou apontar explicitamente se alguma divisão pode excluir soluções (essas serão as “perdidas”).

Passo 2

Transformar a equação para separação de variáveis. Parto de
2x\sin^{2}(y)\,dx=(x^{2}+10)\cos(y)\,dy.
Agora divido ambos os lados por (x^{2}+10)\sin^{2}(y). Importante: ao fazer essa divisão estou assumindo \sin(y)\neq0; portanto as soluções com \sin(y)=0 serão tratadas separadamente depois (são possíveis soluções perdidas). Depois da divisão obtemos
\frac{2x}{x^{2}+10}\,dx=\frac{\cos(y)}{\sin^{2}(y)}\,dy.
Isto é separação de variáveis: tudo em x à esquerda, tudo em y à direita.

Passo 3

Integrar os dois lados. Vou tratar as integrais uma a uma e explicar os passos:
  • Esquerda: \displaystyle \int \frac{2x}{x^{2}+10}\,dx.
    Faça a substituição u=x^{2}+10. Então du=2x\,dx. A integral vira \displaystyle \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C. Voltando para x,
    \int \frac{2x}{x^{2}+10}\,dx=\ln\bigl(x^{2}+10\bigr)+C.
    Observação didática: a técnica usada é substituição simples; 2x\,dx é exatamente du, por isso dá o logaritmo natural.
  • Direita: \displaystyle \int \frac{\cos(y)}{\sin^{2}(y)}\,dy.
    Faça a substituição v=\sin(y). Então dv=\cos(y)\,dy. A integral torna-se \displaystyle \int v^{-2}\,dv. Integrando,
    \int v^{-2}\,dv = \int v^{-2}\,dv = -v^{-1}+C = -\frac{1}{v}+C.
    Voltando para y,
    \int \frac{\cos(y)}{\sin^{2}(y)}\,dy = -\frac{1}{\sin(y)} + C = -\csc(y)+C.
    Observação didática: reconhecer que dv=\cos(y)\,dy simplifica muito; integrar v^{-2} -v^{-1}.

Passo 4

Juntando as integrais (colocando constantes numa só) obtemos
\ln\bigl(x^{2}+10\bigr) = -\csc(y) + C,
ou, reescrevendo,
\ln\bigl(x^{2}+10\bigr) + \csc(y) = C.
Esta é a solução implícita geral obtida pela separação de variáveis para as curvas onde \sin(y)\neq0.
Nota importante sobre a expressão sugerida no enunciado: a forma \ln(x^{2}+10)+\cos(y)=C não é conseguida por integração direta da equação dada. A integral correta do membro em y é -\csc(y), não \cos(y). Portanto a expressão correta é com \csc(y) (ou 1/\sin(y)).

Passo 5

Agora encontro as soluções constantes que podem ter sido perdidas quando dividi por \sin^{2}(y). Ao separar variáveis eu dividi por \sin^{2}(y), portanto perdi possíveis soluções com \sin(y)=0. Vamos verificar constantes y(x)\equiv y_{0} (ou seja, dy/dx=0):
Escrevendo a equação original na forma de derivada,
\frac{dy}{dx}=\frac{2x\sin^{2}(y)}{(x^{2}+10)\cos(y)}.
Para y(x)\equiv y_{0} constante precisamos de \frac{dy}{dx}=0 para todo x. Isso exige \sin^{2}(y_{0})=0, ou seja \sin(y_{0})=0. As soluções são
y_{0}=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Verificação: para y\equiv k\pi temos \sin(y)=0 e \cos(y)=\pm1\neq0, então a expressão original 2x\sin^{2}(y)\,dx-(x^{2}+10)\cos(y)\,dy=0 fica 0-(x^{2}+10)\cos(y)\cdot 0=0, isto é satisfeita (mais direto: com dy=0 e \sin(y)=0 o primeiro termo também é zero). Portanto y\equiv k\pi são de fato soluções constantes.

Passo 6

Resumo final do que encontramos (e comentário de incentivo): a integração direta e correta dá a solução implícita com \csc(y), e as soluções constantes perdidas ao dividir por \sin^{2}(y) são exatamente os casos \sin(y)=0. Está tudo bem — esse tipo de detalhe (dividir por uma expressão que pode ser zero) é uma armadilha clássica; você já fez certo em perguntar.

Resposta

\displaystyle \ln\bigl(x^{2}+10\bigr)+\csc(y)=C.\n \displaystyle y=k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.

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