Use o teste da integral para determinar a convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. As informações dadas são:
e devemos usar o teste da integral para concluir sobre a convergência da série.
Passo 2
Vou aplicar o teste da integral. Primeiro, vamos lembrar claramente o que esse teste diz, de forma direta e prática (tipo amigo explicando):
então a série
e a integral imprópria
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Ou seja, checamos as hipóteses (positiva, contínua, decrescente) e calculamos a integral imprópria correspondente.
Ou seja, checamos as hipóteses (positiva, contínua, decrescente) e calculamos a integral imprópria correspondente.
Passo 3
Defino a função a ser usada no teste:
Verificações (explicando cada uma):
- Positividade: para
tem-se , logo . - Continuidade:
é composta por operações contínuas em (polinômio no denominador e potência), e o denominador nunca é zero para , então é contínua em . - Monotonia (decrescente): calculamos a derivada para ver o sinal:
Como
para
, resulta
. Portanto
é decrescente em
.
Todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 4
Agora calculamos a integral imprópria
Faço a substituição conveniente
. Então
ou
. Os limites mudam: quando
temos
; quando
temos
. Assim
Agora integro
. Uma antiderivada é
Portanto
Avalio o limite:
. Logo
A integral imprópria converge e seu valor é
, que é finito.
Passo 5
Pelo teste da integral, como
é positiva, contínua e decrescente em
e a integral
converge (foi calculada e dá
), concluímos que a série
também converge.
Observação rápida para intuição: escrevendo
vemos que a série tem mesma ordem de uma série
- com
, então também faria sentido pela comparação com
-série convergente. Mas aqui seguimos exatamente o pedido: usamos o teste da integral.
Resposta
A série converge.