Use o teste da integral para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2 n+4)^{\frac{3}{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+4)^{3/2}}
converge ou diverge. As informações dadas são:
a_n=\frac{1}{(2n+4)^{3/2}},\quad n=1,2,3,\dots
e devemos usar o teste da integral para concluir sobre a convergência da série.

Passo 2

Vou aplicar o teste da integral. Primeiro, vamos lembrar claramente o que esse teste diz, de forma direta e prática (tipo amigo explicando):
\text{Se }f:(1,\infty)\to\mathbb{R}\text{ é positiva, contínua e decrescente, e }a_n=f(n),éí
então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n e a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Ou seja, checamos as hipóteses (positiva, contínua, decrescente) e calculamos a integral imprópria correspondente.

Passo 3

Defino a função a ser usada no teste:
f(x)=\frac{1}{(2x+4)^{3/2}},\qquad x\ge 1.
Verificações (explicando cada uma):
  • Positividade: para x\ge1 tem-se 2x+4>0, logo f(x)>0.
  • Continuidade: f é composta por operações contínuas em x (polinômio no denominador e potência), e o denominador nunca é zero para x\ge1, então f é contínua em [1,\infty).
  • Monotonia (decrescente): calculamos a derivada para ver o sinal:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl((2x+4)^{-3/2}\bigr) = -\frac{3}{2}(2x+4)^{-5/2}\cdot 2 = -3(2x+4)^{-5/2}.
Como (2x+4)^{-5/2}>0 para x\ge1, resulta f'(x)<0. Portanto f é decrescente em [1,\infty).
Todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 4

Agora calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(2x+4)^{3/2}}\,dx.
Faço a substituição conveniente u=2x+4. Então du=2\,dx ou dx=\dfrac{du}{2}. Os limites mudam: quando x=1 temos u=6; quando x\to\infty temos u\to\infty. Assim
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(2x+4)^{3/2}}\,dx = \frac{1}{2}\int_{6}^{\infty} u^{-3/2}\,du.
Agora integro u^{-3/2}. Uma antiderivada é
\int u^{-3/2}\,du = \frac{u^{-1/2}}{-1/2} = -2u^{-1/2}.
Portanto
\frac{1}{2}\int_{6}^{\infty} u^{-3/2}\,du = \frac{1}{2}\Bigl[ -2u^{-1/2}\Bigr]_{6}^{\infty} = \Bigl[ -u^{-1/2}\Bigr]_{6}^{\infty}.
Avalio o limite: \lim_{u\to\infty}(-u^{-1/2})=0. Logo
\Bigl[ -u^{-1/2}\Bigr]_{6}^{\infty} = 0 - \bigl(-6^{-1/2}\bigr) = \frac{1}{\sqrt{6}}.
A integral imprópria converge e seu valor é \dfrac{1}{\sqrt{6}}, que é finito.

Passo 5

Pelo teste da integral, como f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty) e a integral \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge (foi calculada e dá \dfrac{1}{\sqrt{6}}), concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+4)^{3/2}}
também converge.
Observação rápida para intuição: escrevendo \dfrac{1}{(2n+4)^{3/2}}=\dfrac{1}{2^{3/2}}\cdot\dfrac{1}{(n+2)^{3/2}} vemos que a série tem mesma ordem de uma série p- com p=\tfrac{3}{2}>1, então também faria sentido pela comparação com p-série convergente. Mas aqui seguimos exatamente o pedido: usamos o teste da integral.

Resposta

A série converge.

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