Use o teste da integral para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{n^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede que a gente use o teste da integral para estudar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{n^{2}-4}.
O conteúdo principal aqui é o teste da integral para séries de termos positivos, que exige associar à série a uma função contínua, positiva e decrescente f(x) e verificar se \displaystyle \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx
é finito ou infinito.

Passo 2

Como \frac{4}{n^{2}-4} não está definido em n=2, desconsid­eramos os termos n=1,2 (isso não afeta a convergência do resto da série). Definimos para x>2 a função
f(x) = \frac{4}{x^{2}-4}.
Verificamos que para x\ge3:
  1. f(x)>0.
  2. f é contínua em [3,\infty).
  3. f é decrescente, pois
f'(x) = \frac{d}{dx}\!\Bigl(4(x^{2}-4)^{-1}\Bigr) = -\,\frac{8x}{(x^{2}-4)^{2}}<0\quad\text{para }x>2.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral estudando
\int_{3}^{\infty} \frac{4}{x^{2}-4}\,dx.
Para calcular essa integral, fazemos frações parciais:
\frac{4}{x^{2}-4} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}.
Multiplicando em cima:
4 = A(x+2) + B(x-2).
Tomando x=2 4=4A\Rightarrow A=1.
Tomando x=-2 4=-4B\Rightarrow B=-1.
Logo
\frac{4}{x^{2}-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}.

Passo 4

Agora integramos:
\int_{3}^{M} \frac{4}{x^{2}-4}\,dx = \int_{3}^{M}\Bigl(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\Bigr)\,dx = \Bigl[\ln|x-2| - \ln|x+2|\Bigr]_{3}^{M}.
Isso é
\ln\frac{M-2}{M+2} \;-\;\ln\frac{3-2}{3+2} = \ln\frac{M-2}{M+2} \;-\;\ln\frac{1}{5}.
Ao deixar M\to\infty, \ln\frac{M-2}{M+2}\to\ln1=0. Sobrou \,-\ln\frac1{5}=\ln5, que é finito.

Passo 5

Como \displaystyle\int_{3}^{\infty} \frac{4}{x^{2}-4}\,dx
converge (é igual a \ln5), o teste da integral garante que a série \displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\frac{4}{n^{2}-4}
converge. E, como ignorar os dois primeiros termos não altera a convergência, concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^{2}-4} converge pelo teste da integral.

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