Use o teste da integral para determinar a convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede que a gente use o teste da integral para estudar a convergência da série
.
O conteúdo principal aqui é o teste da integral para séries de termos positivos, que exige associar à série a uma função contínua, positiva e decrescente e verificar se
é finito ou infinito.
O conteúdo principal aqui é o teste da integral para séries de termos positivos, que exige associar à série a uma função contínua, positiva e decrescente
é finito ou infinito.
Passo 2
Como
não está definido em
, desconsideramos os termos
(isso não afeta a convergência do resto da série). Definimos para
a função
Verificamos que para
:
-
. -
é contínua em . -
é decrescente, pois
Passo 3
Aplicamos o teste da integral estudando
Para calcular essa integral, fazemos frações parciais:
Multiplicando em cima:
Tomando
dá
.
Tomando dá
.
Logo
Tomando
Logo
Passo 4
Agora integramos:
Isso é
Ao deixar
,
. Sobrou
, que é finito.
Passo 5
Como
converge (é igual a ), o teste da integral garante que a série
converge. E, como ignorar os dois primeiros termos não altera a convergência, concluímos que a série original também converge.
converge (é igual a
converge. E, como ignorar os dois primeiros termos não altera a convergência, concluímos que a série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da integral.