Verificar a convergência das séries, encontrar uma fórmula para S_{n} e calcular a soma.
\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}-\frac{1}{3^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac{1}{2^{n}}-\tfrac{1}{3^{n}}\Bigr),
que é a diferença de duas séries geométricas. O conteúdo é séries infinitas e vamos usar a fórmula da soma parcial de uma série geométrica e o critério de convergência |r|<1.

Passo 2

Separamos
\sum_{n=0}^{\infty}\tfrac{1}{2^{n}} \quad\text{e}\quad \sum_{n=0}^{\infty}\tfrac{1}{3^{n}}.
Ambas são geométricas com razão r=\tfrac12 e r=\tfrac13, respectivamente, e como \bigl|\tfrac12\bigr|<1 e \bigl|\tfrac13\bigr|<1, cada uma converge. Pela linearidade, a série dada também converge.

Passo 3

Definimos a soma parcial
S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\Bigl(\tfrac{1}{2^{k}}-\tfrac{1}{3^{k}}\Bigr) =\sum_{k=0}^{n}\tfrac{1}{2^{k}} -\sum_{k=0}^{n}\tfrac{1}{3^{k}}.
Usando a fórmula
\sum_{k=0}^{n}r^{k}=\frac{1-r^{\,n+1}}{1-r},
temos
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2^{k}} =\frac{1-(\tfrac12)^{\,n+1}}{1-\tfrac12} =2\Bigl(1-(\tfrac12)^{\,n+1}\Bigr),
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{3^{k}} =\frac{1-(\tfrac13)^{\,n+1}}{1-\tfrac13} =\frac{3}{2}\Bigl(1-(\tfrac13)^{\,n+1}\Bigr).

Passo 4

Substituindo em S_{n}:
S_{n} =2\bigl(1-(\tfrac12)^{n+1}\bigr) -\frac{3}{2}\bigl(1-(\tfrac13)^{n+1}\bigr).
Podemos distribuir e simplificar:
S_{n} =\Bigl(2-\tfrac32\Bigr) -2\,( \tfrac12)^{n+1} +\frac{3}{2}\,(\tfrac13)^{n+1} =\tfrac12 -\bigl(\tfrac12\bigr)^{n} +\tfrac12\bigl(\tfrac13\bigr)^{n}.

Passo 5

Para obter a soma total, fazemos n\to\infty. Como \lim_{n\to\infty}(\tfrac12)^{n}=0 e \lim_{n\to\infty}(\tfrac13)^{n}=0, fica
\lim_{n\to\infty}S_{n} =\tfrac12.

Resposta

A série converge.
A soma parcial é
S_{n} =2\bigl(1-(\tfrac12)^{n+1}\bigr) -\frac{3}{2}\bigl(1-(\tfrac13)^{n+1}\bigr) =\frac12-\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}+\frac12\bigl(\tfrac13\bigr)^{n},
e a soma da série é
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac{1}{2^{n}}-\tfrac{1}{3^{n}}\Bigr) =\frac12.

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