Verificar a convergência das séries, encontrar uma fórmula para
e calcular a soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
Isso é uma série geométrica com termo inicial
(quando
) e razão
. Vamos primeiro verificar a convergência, depois achar a soma parcial
e finalmente o valor da soma infinita.
Passo 2
Uma série geométrica
converge exatamente quando
. Aqui temos
e
. Logo a nossa série converge.
Passo 3
A soma parcial
da série geométrica é dada por
Passo 4
Para obter a soma da série infinita, tomamos o limite de
quando
. Como
, temos
Resposta
A série converge porque
.
A soma parcial é
A soma parcial é
A soma infinita vale