Use o teste da integral para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n \cdot(\ln n)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\,(\ln n)^{3}}.
O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos, que diz: se f(x) é contínua, positiva e decrescente em [N,\infty) e a_n = f(n), então
  • \displaystyle\sum_{n=N}^{\infty}a_n e \displaystyle\int_{N}^{\infty}f(x)\,dx convergem ou divergem juntos.

Passo 2

Definimos
f(x) = \frac{1}{x\,(\ln x)^{3}},
para x\ge 2. Verificamos:
  1. f(x)>0 para x>1.
  2. f é contínua em [2,\infty) (pois \ln x>0).
  3. Para ver que f é decrescente, basta notar que
f'(x) = -\frac{1}{x^{2}(\ln x)^{3}} - \frac{3}{x^{2}(\ln x)^{4}} <0 \quad\text{para }x>1.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\,(\ln x)^{3}}.
Fazemos a troca de variável \displaystyle t = \ln x, logo dt = \frac{dx}{x}. Quando x=2, t=\ln 2; quando x\to\infty, t\to\infty. Assim
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\,(\ln x)^{3}} = \int_{\ln 2}^{\infty} t^{-3}\,dt.
Essa integral é
\int_{\ln 2}^{\infty} t^{-3}\,dt = \Bigl[ -\tfrac{1}{2}\,t^{-2}\Bigr]_{t=\ln 2}^{t\to\infty} = 0 - \Bigl(-\tfrac{1}{2(\ln 2)^{2}}\Bigr) = \frac{1}{2(\ln 2)^{2}},
que é finito.

Passo 4

Como a integral de f(x) de 2 a \infty converge, pelo teste da integral a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\,(\ln n)^{3}}
também converge. O termo n=1 não está definido, mas basta iniciar a soma em n=2 sem afetar a convergência do resto da série.

Resposta

A série converge.

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