Use o teste da integral para determinar a convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral na série
O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos, que diz: se
é contínua, positiva e decrescente em
e
, então
-
e convergem ou divergem juntos.
Passo 2
Definimos
para
. Verificamos:
-
para . -
é contínua em (pois ). - Para ver que
é decrescente, basta notar que
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazemos a troca de variável
, logo
. Quando
,
; quando
,
. Assim
Essa integral é
que é finito.
Passo 4
Como a integral de
de
a
converge, pelo teste da integral a série
também converge. O termo
não está definido, mas basta iniciar a soma em
sem afetar a convergência do resto da série.
Resposta
A série converge.