Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente usando o teste da integral. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O termo geral da série é
para . - É preciso decidir convergência ou divergência (há exatamente uma resposta correta).
Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Vou lembrar o que é o teste da integral (com muita calma, passo a passo).
O teste da integral diz o seguinte.
O teste da integral diz o seguinte.
Seja
uma função que é positiva, contínua e decrescente em
. Se
para
, então:
- a série
e a integral imprópria têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Explicando a ideia por trás do teste (sem formalidade excessiva): a soma
pode ser comparada com as áreas sob a curva
; se a área total até infinito é finita, a soma também será, e vice-versa — desde que
seja decrescente, para que as aproximações por retângulos funcionem com ordem controlada.
Observação importante: as três hipóteses (positiva, contínua e decrescente) são necessárias para aplicar o teste diretamente.
Passo 3
Vou tentar aplicar o teste da integral à função natural associada à série:
pois
.
Verifico as hipóteses do teste:
- Positividade e continuidade: para
o denominador , logo e é contínua em . Essas duas hipóteses estão satisfeitas. - Monotonicidade (decrescente?): calcule a derivada para ver se é decrescente:
Como
para todo
, a função
é estritamente crescente, e não decrescente. Portanto a hipótese “decrescente” do teste da integral NÃO se cumpre aqui. Isso significa que não podemos aplicar o teste da integral diretamente a
.
Passo 4
Como o enunciado exige usar o teste da integral, faço uma transformação útil que permite usar o teste numa função relacionada.
Observe a álgebra do termo geral:
Logo a série se escreve
Isso nos permite separar:
A série
é a soma infinita de
s (ou seja, os
-ésimos somatórios crescem como
), e é bem sabido que diverge. Ainda assim, para usar o teste da integral conforme pedido, vou aplicar o teste da integral à segunda série
, que tem termo geral
.
Passo 5
Aplicação do teste da integral à série
.
Defino a função
Verifico as hipóteses do teste para
:
-
e contínua em (denominador nunca zero). - Derivada:
para . Assim é decrescente.
Logo podemos aplicar o teste da integral. Calculo a integral imprópria:
A integral diverge (logarítmica). Pelo teste da integral, a série
também diverge (é a mesma classe da série harmônica).
Passo 6
Agora volto à série original usando a decomposição do Passo 4:
Já estabeleci no Passo 5, via teste da integral, que
(cresce como
). Portanto, olhando o comportamento de
quando
:
- o termo
cresce sem limite (vai para ); - a soma
também cresce, mas somente de ordem logarítmica; subtrair uma quantidade que cresce como de uma que cresce como deixa o resultado ainda com crescimento dominante linear. Logo quando .
Uma explicação ainda mais imediata (teste da n-ésima parcela), que confirma a decisão: calcule o limite do termo geral
Se os termos gerais de uma série não tendem a zero, a série necessariamente diverge. Esse é o teste mais simples e rápido: aqui ele já dá a divergência imediata.
Passo 7
Conclusão final (resumindo o que foi feito):
- Não é possível aplicar diretamente o teste da integral a
porque é crescente. - Reescrevendo
e aplicando o teste da integral à série , concluiu-se que essa série diverge. - A soma parcial da série original é
, que tende a . Além disso, o termo geral não tende a zero ( ), portanto a série diverge.
Resposta
A série é divergente.