Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} (n+2) /(n+3)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n+3}
é convergente ou divergente usando o teste da integral. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{n+2}{n+3} para n\ge 1.
  • É preciso decidir convergência ou divergência (há exatamente uma resposta correta).
    Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Vou lembrar o que é o teste da integral (com muita calma, passo a passo).
O teste da integral diz o seguinte.
Seja f:(1,\infty)\to\mathbb{R} uma função que é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty). Se a_n=f(n) para n\ge1, então:
  • a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n e a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Explicando a ideia por trás do teste (sem formalidade excessiva): a soma \sum a_n pode ser comparada com as áreas sob a curva y=f(x); se a área total até infinito é finita, a soma também será, e vice-versa — desde que f seja decrescente, para que as aproximações por retângulos funcionem com ordem controlada.
Observação importante: as três hipóteses (positiva, contínua e decrescente) são necessárias para aplicar o teste diretamente.

Passo 3

Vou tentar aplicar o teste da integral à função natural associada à série:
f(x)=\frac{x+2}{x+3},\qquad x\ge1,
pois a_n=f(n).
Verifico as hipóteses do teste:
  • Positividade e continuidade: para x\ge1 o denominador x+3>0, logo f(x)>0 e f é contínua em [1,\infty). Essas duas hipóteses estão satisfeitas.
  • Monotonicidade (decrescente?): calcule a derivada para ver se é decrescente:
f(x)=1-\frac{1}{x+3}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(1-\frac{1}{x+3}\right)=\frac{1}{(x+3)^2}.
Como \dfrac{1}{(x+3)^2}>0 para todo x\ge1, a função f é estritamente crescente, e não decrescente. Portanto a hipótese “decrescente” do teste da integral NÃO se cumpre aqui. Isso significa que não podemos aplicar o teste da integral diretamente a f(x)=\dfrac{x+2}{x+3}.

Passo 4

Como o enunciado exige usar o teste da integral, faço uma transformação útil que permite usar o teste numa função relacionada.
Observe a álgebra do termo geral:
\frac{n+2}{n+3}=\frac{(n+3)-1}{n+3}=1-\frac{1}{n+3}.
Logo a série se escreve
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+2}{n+3}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n+3}\right).
Isso nos permite separar:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+2}{n+3}=\sum_{n=1}^{\infty}1\;-\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+3}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}1 é a soma infinita de 1s (ou seja, os N-ésimos somatórios crescem como N), e é bem sabido que diverge. Ainda assim, para usar o teste da integral conforme pedido, vou aplicar o teste da integral à segunda série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n+3}, que tem termo geral b_n=\dfrac{1}{n+3}.

Passo 5

Aplicação do teste da integral à série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+3}.
Defino a função
g(x)=\frac{1}{x+3},\qquad x\ge1.
Verifico as hipóteses do teste para g:
  • g(x)>0 e contínua em [1,\infty) (denominador nunca zero).
  • Derivada: g'(x)=-\dfrac{1}{(x+3)^2}<0 para x\ge1. Assim g é decrescente.
Logo podemos aplicar o teste da integral. Calculo a integral imprópria:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x+3}\,dx = \lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}\frac{1}{x+3}\,dx = \lim_{t\to\infty}\bigl[\ln(x+3)\bigr]_{x=1}^{x=t} = \lim_{t\to\infty}\bigl(\ln(t+3)-\ln(4)\bigr)=\infty.
A integral diverge (logarítmica). Pelo teste da integral, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+3}
também diverge (é a mesma classe da série harmônica).

Passo 6

Agora volto à série original usando a decomposição do Passo 4:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{n+2}{n+3}= \sum_{n=1}^{N}1 \;-\; \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+3} = N \;-\; \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+3}.
Já estabeleci no Passo 5, via teste da integral, que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n+3}=\infty (cresce como \ln N). Portanto, olhando o comportamento de S_N quando N\to\infty:
  • o termo N cresce sem limite (vai para +\infty);
  • a soma \sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n+3} também cresce, mas somente de ordem logarítmica; subtrair uma quantidade que cresce como \ln N de uma que cresce como N deixa o resultado ainda com crescimento dominante linear. Logo S_N\to\infty quando N\to\infty.
Uma explicação ainda mais imediata (teste da n-ésima parcela), que confirma a decisão: calcule o limite do termo geral
\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+3}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+3}\right)=1\neq 0.
Se os termos gerais de uma série não tendem a zero, a série necessariamente diverge. Esse é o teste mais simples e rápido: aqui ele já dá a divergência imediata.

Passo 7

Conclusão final (resumindo o que foi feito):
  • Não é possível aplicar diretamente o teste da integral a f(x)=\dfrac{x+2}{x+3} porque f é crescente.
  • Reescrevendo \dfrac{n+2}{n+3}=1-\dfrac{1}{n+3} e aplicando o teste da integral à série \sum \dfrac{1}{n+3}, concluiu-se que essa série diverge.
  • A soma parcial da série original é S_N=N-\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n+3}, que tende a +\infty. Além disso, o termo geral não tende a zero ( \lim a_n=1), portanto a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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