Determine o domínio da função
Passo 1
O enunciado dá a função
A pergunta é: determinar o domínio de
, ou seja, o conjunto de todos os
reais para os quais
está bem definida.
Informações relevantes fornecidas:
- Numerador (do radicando):
. - Denominador (do radicando):
.
Condições que devem valer simultaneamente para
estar no domínio:
- O radicando deve ser não-negativo:
- O denominador não pode ser zero (porque aí a fração não estaria definida).
A partir daqui vou resolver a desigualdade acima e excluir os pontos em que o denominador zera.
Passo 2
Vamos manipular e fatorar numerador e denominador para facilitar a análise.
Primeiro o numerador:
O polinômio
fatora assim:
Portanto
Os zeros do numerador são
e
.
Passo 3
Agora o denominador:
Calculo suas raízes pela fórmula quadrática. O discriminante é
As raízes são
Isso dá
e
. Assim a fatoração é
Os zeros do denominador são
e
; esses pontos devem ser excluídos do domínio.
Passo 4
Escrevendo a fração já fatorada:
O fator
não altera o sinal, então o sinal da fração é dado por
Para resolver
fazemos análise de sinais usando os pontos críticos (onde algum fator é zero):
Ordenados na reta:
.
Agora avalio o sinal da fração em cada intervalo, testando um ponto em cada intervalo.
- Intervalo
. Teste .
-
, ⇒ ⇒ com o sinal negativo na frente o numerador é negativo. -
, ⇒ denominador .
Conclusão: fraçãoneste intervalo.
- Intervalo
. Teste .
-
, ⇒ ⇒ numerador = . -
, ⇒ denominador .
Conclusão: fraçãoem .
- Intervalo
. Teste .
-
, ⇒ ⇒ numerador (mesmo raciocínio do teste anterior). -
, ⇒ denominador .
Conclusão: fraçãoem .
- Intervalo
. Teste .
-
, ⇒ ⇒ numerador . -
, ⇒ denominador .
Conclusão: fraçãoem .
- Intervalo
. Teste .
-
, ⇒ ⇒ numerador . - denominador
.
Conclusão: fraçãoem .
Também analisamos os pontos onde numerador zera:
- Em
e a fração vale (desde que o denominador não seja zero nesses pontos). Verificamos que em o denominador é , e em o denominador também é diferente de zero. Então e são válidos porque dão radicando (e é permitido).
Os pontos
e
tornam o denominador zero, portanto são excluídos do domínio.
Passo 5
Reunindo os intervalos onde a fração é não-negativa (ou seja, positiva ou zero) e excluindo as raízes do denominador, obtemos:
- a fração é
em (inclui , exclui ), - e também em
(exclui , inclui ).
Portanto o domínio de
é a união desses dois conjuntos.