Determine o domínio da função
f(x)=\sqrt{\frac{2+x-x^{2}}{-3-4 x+4 x^{2}}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{\frac{2+x-x^{2}}{-3-4x+4x^{2}}}
A pergunta é: determinar o domínio de f, ou seja, o conjunto de todos os x reais para os quais f(x) está bem definida.
Informações relevantes fornecidas:
  • Numerador (do radicando): \;2+x-x^{2}.
  • Denominador (do radicando): \;-3-4x+4x^{2}.
Condições que devem valer simultaneamente para x estar no domínio:
  1. O radicando deve ser não-negativo:
\frac{2+x-x^{2}}{-3-4x+4x^{2}} \ge 0.
  1. O denominador não pode ser zero (porque aí a fração não estaria definida).
A partir daqui vou resolver a desigualdade acima e excluir os pontos em que o denominador zera.

Passo 2

Vamos manipular e fatorar numerador e denominador para facilitar a análise.
Primeiro o numerador:
2+x-x^{2} = -x^{2}+x+2 = -(x^{2}-x-2).
O polinômio x^{2}-x-2 fatora assim:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Portanto
2+x-x^{2}=-(x-2)(x+1).
Os zeros do numerador são \,x=-1 e \,x=2.

Passo 3

Agora o denominador:
-3-4x+4x^{2}=4x^{2}-4x-3.
Calculo suas raízes pela fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot4\cdot(-3)=16+48=64.
As raízes são
x=\frac{4\pm\sqrt{64}}{8}=\frac{4\pm 8}{8}.
Isso dá x=-\tfrac{1}{2} e x=\tfrac{3}{2}. Assim a fatoração é
-3-4x+4x^{2}=4\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr)\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr).
Os zeros do denominador são \,x=-\tfrac{1}{2} e \,x=\tfrac{3}{2}; esses pontos devem ser excluídos do domínio.

Passo 4

Escrevendo a fração já fatorada:
\frac{2+x-x^{2}}{-3-4x+4x^{2}}=\frac{-(x-2)(x+1)}{4\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr)\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)}.
O fator 4>0 não altera o sinal, então o sinal da fração é dado por
\text{signo}\bigl(-(x-2)(x+1)(x+\tfrac{1}{2})(x-\tfrac{3}{2})\bigr).
Para resolver \dfrac{2+x-x^{2}}{-3-4x+4x^{2}}\ge 0 fazemos análise de sinais usando os pontos críticos (onde algum fator é zero):
x=-1,\quad x=-\tfrac{1}{2},\quad x=\tfrac{3}{2},\quad x=2.
Ordenados na reta: -\infty,\,-1,\,-\tfrac{1}{2},\,\tfrac{3}{2},\,2,\,+\infty.
Agora avalio o sinal da fração em cada intervalo, testando um ponto em cada intervalo.
  1. Intervalo (-\infty,-1). Teste x=-2.
  • x-2<0, x+1<0 (x-2)(x+1)>0 ⇒ com o sinal negativo na frente o numerador é negativo.
  • x+\tfrac{1}{2}<0, x-\tfrac{3}{2}<0 ⇒ denominador >0.
    Conclusão: fração <0 neste intervalo.
  1. Intervalo (-1,-\tfrac{1}{2}). Teste x=-0{,}75.
  • x-2<0, x+1>0 (x-2)(x+1)<0 ⇒ numerador = -(\text{negativo})>0.
  • x+\tfrac{1}{2}<0, x-\tfrac{3}{2}<0 ⇒ denominador >0.
    Conclusão: fração >0 em (-1,-\tfrac{1}{2}).
  1. Intervalo (-\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}). Teste x=0.
  • x-2<0, x+1>0 (x-2)(x+1)<0 ⇒ numerador >0 (mesmo raciocínio do teste anterior).
  • x+\tfrac{1}{2}>0, x-\tfrac{3}{2}<0 ⇒ denominador <0.
    Conclusão: fração <0 em (-\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}).
  1. Intervalo (\tfrac{3}{2},2). Teste x=1{,}6.
  • x-2<0, x+1>0 (x-2)(x+1)<0 ⇒ numerador >0.
  • x+\tfrac{1}{2}>0, x-\tfrac{3}{2}>0 ⇒ denominador >0.
    Conclusão: fração >0 em (\tfrac{3}{2},2).
  1. Intervalo (2,\infty). Teste x=3.
  • x-2>0, x+1>0 (x-2)(x+1)>0 ⇒ numerador = -(\text{positivo})<0.
  • denominador >0.
    Conclusão: fração <0 em (2,\infty).
Também analisamos os pontos onde numerador zera:
  • Em x=-1 e x=2 a fração vale 0 (desde que o denominador não seja zero nesses pontos). Verificamos que em x=-1 o denominador é 4(-1+\tfrac{1}{2})(-1-\tfrac{3}{2})\neq0, e em x=2 o denominador também é diferente de zero. Então x=-1 e x=2 são válidos porque dão radicando 0 (e \sqrt{0}=0 é permitido).
Os pontos x=-\tfrac{1}{2} e x=\tfrac{3}{2} tornam o denominador zero, portanto são excluídos do domínio.

Passo 5

Reunindo os intervalos onde a fração é não-negativa (ou seja, positiva ou zero) e excluindo as raízes do denominador, obtemos:
  • a fração é \ge 0 em [-1,-\tfrac{1}{2}) (inclui -1, exclui -\tfrac{1}{2}),
  • e também em (\tfrac{3}{2},2] (exclui \tfrac{3}{2}, inclui 2).
Portanto o domínio de f é a união desses dois conjuntos.

Resposta

\displaystyle [-1,-\tfrac{1}{2})\cup\bigl(\tfrac{3}{2},2\bigr]

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