TESTE SE converge an divenge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá a série numérica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}
e pede para testar se essa série converge ou diverge. Informação relevante dada:
  • Os termos gerais são positivos: para todo n\ge1, \dfrac{1}{n^{2}+1}>0.
  • A soma é sobre n indo de 1 a \infty.

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta padrão que será útil: a série-p (p-series). Definição e critério:
  • A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} é chamada de série-p.
  • Conhecimento essencial: se p>1 a série-p converge; se p\le1 ela diverge.
    Explicação curta e intuitiva: quando p>1 os termos \dfrac{1}{n^{p}} vão a zero rápido o suficiente e a soma fica finita (isso pode ser provado pelo teste da integral, por comparação, etc.). Para p\le1 os termos não decrescem rápido o suficiente e a soma explode.

Passo 3

Agora observe a relação entre o termo do problema e uma série-p com p=2.
Para todo n\ge1 vale
n^{2}\le n^{2}+1,
logo, invertendo (porque são positivos),
\frac{1}{n^{2}+1}\le\frac{1}{n^{2}}.
Portanto os termos da série dada são menores ou iguais aos termos da série-p \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.

Passo 4

Aplicamos o teste de comparação direta: como \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é uma série-p com p=2>1, ela converge. E como 0\le\frac{1}{n^{2}+1}\le\frac{1}{n^{2}} para todo n\ge1, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}
converge também (uma série com termos positivos menor termo a termo que uma série convergente também converge).

Passo 5

Como todos os termos \dfrac{1}{n^{2}+1} são não negativos, a convergência acima já é a convergência absoluta (para séries de termos não negativos não se fala em condicional). Se quiser uma verificação alternativa, pode-se usar o teste de comparação limite: calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{n^{2}+1}}{\dfrac{1}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}=1,
como esse limite é um número finito e positivo, a série tem o mesmo comportamento da série-p \sum 1/n^{2}, então também converge.

Passo 6

Resumo didático (para a prova): ao ver uma série do tipo \dfrac{1}{n^{2}+a} com a constante, compare com \dfrac{1}{n^{2}}. Se a série \sum 1/n^{2} converge (porque p=2>1), então a original geralmente converge por comparação direta ou por comparação limite. Isso é rápido de aplicar em prova e não exige cálculo de somas exatas.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1} converge (convergência absoluta).

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