TESTE SE converge an divenge
Passo 1
O enunciado dá a série numérica
e pede para testar se essa série converge ou diverge. Informação relevante dada:
- Os termos gerais são positivos: para todo
, . - A soma é sobre
indo de a .
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta padrão que será útil: a série-p (p-series). Definição e critério:
- A série
é chamada de série-p. - Conhecimento essencial: se
a série-p converge; se ela diverge.
Explicação curta e intuitiva: quandoos termos vão a zero rápido o suficiente e a soma fica finita (isso pode ser provado pelo teste da integral, por comparação, etc.). Para os termos não decrescem rápido o suficiente e a soma explode.
Passo 3
Agora observe a relação entre o termo do problema e uma série-p com
.
Para todo vale
Para todo
logo, invertendo (porque são positivos),
Portanto os termos da série dada são menores ou iguais aos termos da série-p
.
Passo 4
Aplicamos o teste de comparação direta: como
é uma série-p com
, ela converge. E como
para todo
, a série
converge também (uma série com termos positivos menor termo a termo que uma série convergente também converge).
Passo 5
Como todos os termos
são não negativos, a convergência acima já é a convergência absoluta (para séries de termos não negativos não se fala em condicional). Se quiser uma verificação alternativa, pode-se usar o teste de comparação limite: calcular
como esse limite é um número finito e positivo, a série tem o mesmo comportamento da série-p
, então também converge.
Passo 6
Resumo didático (para a prova): ao ver uma série do tipo
com
constante, compare com
. Se a série
converge (porque
), então a original geralmente converge por comparação direta ou por comparação limite. Isso é rápido de aplicar em prova e não exige cálculo de somas exatas.
Resposta
A série
converge (convergência absoluta).